STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 30 – # 34
30 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
ÖVNING 2.30
Antag att var femte bilolycka med dödlig utgång har en onykter förare.
Om detta skall användas som argument för att det är farligt att köra onykter
(snarare än att Sveriges befolkning har alkoholproblem) beror på hur stor
andel av förarna längs Sveriges vägar som är onyktra.
a) Definiera lämpliga händelser för att vara onykter i trafiken och att dö i
trafikolycka.
b) Uttryck frekvensen ovan med hjälp av sannolikheter för ett lämpligt
slumpexperiment.
c) Vilken sannolikhetsrelation bör gälla för att utsagan ovan ska kunna
tolkas som att onykterhet inte påverkar risken att dö i bilolycka huruvida
man kör onykter eller ej, dvs. att dödsrisken är oberoende av nykterhet/onykterhet?
d) Vilken sannolikhetsrelation bör gälla för att utsagan ovan ska kunna
tolkas som att det är farligt att köra onykter?
ÖVNING 2.31 (Stjärnor, forts från Övning 2.11)
Antag att ett slumpexperiment består i att centrera ett kikarsikte mot en
slumpvis vald stjärna. Låt An, n = 1, 2, . . ., beteckna händelsen att man
i kikarsiktet ser exakt n stjärnor. Antag att P (An) = 6/(π 2 n 2 ). Antag
vidare att stjärnfall sker oberoende för olika stjärnor och att sannolikheten
att en given stjärna har ett stjärnfall under en timme är 10 −6 .
a) Beräkna numeriskt sannolikheten att se något stjärnfall om man tittar
en timme i kikarsiktet. (L)
b) Beräkna numeriskt sannolikheten att bara se en stjärna, och beräkna
sannolikheten för denna händelse givet att man sett ett stjärnfall.
2.6 Sannolikhetsmått
I Avsnitt 2.2 definierade vi sannolikheter genom att utgå från Kolmogorovs
axiomsystem (Definition 2.2 på sidan 6). Utgående från dessa axiom visade
vi olika egenskaper hos sannolikheter, som t.ex. komplementsatsen och
additionssatsen, se Sats 2.1 på sidan 8.
Vi kan uttrycka detta mer allmänt genom att studera funktioner definierade
på delmängder till någon grundmängd Ω.