STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2.5.2 Bayes sats
2007-10-08 – sida 27 – # 31
2.5 BETINGNING OCH OBEROENDE 27
Ibland kan man vara intresserad av sannolikheten för en viss händelse betingat
av en annan händelse, när man känner till den omvända betingade sannolikheten
och de obetingade sannolikheterna. Man har då användning av Bayes
sats.
SATS 2.7 (BAYES SATS)
Under samma villkor som för lagen om total sannolikhet, Sats 2.6 på sidan
25, gäller
P (Ai)P (B | Ai)
P (Ai | B) = n j=1 P (Aj)P (B | Aj) .
ANMÄRKNING 2.8
För en viss typ av statistisk slutledningsprincip är denna sats fundamental
vilket även antyds av dess namn Bayesiansk statistik. Denna statistiska
princip, som för övrigt fått ett enormt uppsving sedan slutet av 1900-talet
i och med datorernas ökade beräkningskapacitet, beskrivs i Avsnitt ?? på
sidan ??.
BEVIS, SATS 2.7
Enligt definitionen för betingad sannolikhet gäller att P (Ai | B) = P (Ai ∩
B)/P (B). Om vi använder definitionen för betingad sannolikhet igen för
täljaren (men ’baklänges’) får vi P (Ai ∩ B) = P (Ai)P (B | Ai) vilket ger
samma uttryck som i satsens täljare. Att P (B) blir detsamma som satsens
nämnare följer av lagen om total sannolikhet.
EXEMPEL 2.15 (TBC-test, forts från Exempel 2.14)
Vi skall nu beräkna sannolikheten att en person som testar positivt verkligen
är smittad, vilket man kan göra med Bayes sats. Den sannolikhet vi
vill beräkna är alltså P (S | +), dvs. sannolikheten att en person som testar
positiv (”+”) är smittad (”S”). Vi får
P (S | +) =
P (S)P (+ | S)
P (S)P (+ | S) + P (S c )P (+ | S c ) =
= 9/21 ≈ 0.429.
0.2 · 0.9
0.2 · 0.9 + 0.8 · 0.3