STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 26 – # 30
26 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
Om vi i Figur 2.5 på sidan 21 vill beräkna sannolikheten att andra kortet blir
ett ess, dvs. P (B), så ser vi att man kan ”nå” B på två sätt, antingen genom att
A (dvs. första kortet blir ett ess) inträffar och därefter B, eller att A c inträffar
(dvs. första kortet blir inte ess) och därefter B. Sannolikheterna för dessa
två varianter blir 4/52 · 3/51 respektive 48/52 · 4/51 vilket tillsammans blir
4/52. Vid närmare eftertanke är det inte så konstigt att sannolikheten att få ett
ess i andra dragningen är densamma som i första så länge vi inte känner till
vilket kort som drogs först. Om sannolikheten t.ex. vore större att få ess andra
gången kunde man ju i så fall bara flytta på det översta kortet i leken utan att
titta på det, och därefter ha förhöjd sannolikhet att få ess när man drog andra
kortet.
EXEMPEL 2.14 (TBC-test )
Antag att förekomsten av TBC-smitta i en viss delbefolkning är 20%. Det
snabbtest man kan utföra för att testa förekomst av TBC-smitta är inte
perfekt. Sensitiviteten, dvs. sannolikheten att en smittad person ger ett
positivt test (vilket man vill) är 0.9 (och 0.1 att det blir negativt utslag),
medan specificiteten, dvs. sannolikheten att en icke-smittad ger ett negativt
test (vilket man också vill) är 0.7 (och 0.3 att det blir positivt utslag).
Sannolikheten att en slumpvis utvald person ger ett positivt test kan då
erhållas med hjälp av lagen om total sannolikhet. Låt ”+” beteckna händelsen
att personen testar positivt, och ”-” beteckna händelsen att personen
testar negativt, och låt S vara händelsen att personen verkligen är smittad
av TBC. De storheter som givits är då P (S) = 0.2, P (+ | S) = 0.9,
P (− | S) = 0.1, P (− | S c ) = 0.7 och P (+ | S c ) = 0.3: Sannolikheten att
vara smittad är 0.2, sannolikheten att testet ger positivt utslag hos smittade
är 0.9, och att testet visar negativt bland icke-smittade har sannolikhet
0.7. Det gäller vidare att P (S c ) = 1 − P (S) = 0.8. Den eftersökta sannolikheten
att en slumpvis vald person testar positivt, dvs. P (+), blir därför
enligt lagen om total sannolikhet
P (+) = P (+ | S)P (S) + P (+ | S c )P (S c ) = 0.9 · 0.2 + 0.3 · 0.8 = 0.42.
I detta exempel har vi använt oss av att betingade sannolikheter också
uppfyller kriterierna för att vara sannolikhetsmått – t.ex. sa vi att eftersom
P (+ | S) = 0.9 så måste P (− | S) = 0.1. Att så är fallet visas mer
stringent i Avsnitt 2.6.