STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 25 – # 29
2.5 BETINGNING OCH OBEROENDE 25
0.042 och att andelen med bägge symptomen är lika med P (D ∩ F ) =
P (D)P (F ) = 0.00048.
ANMÄRKNING 2.7 (Oberoende är inte samma sak som oförenliga!)
Det händer ofta att begreppen oberoende och oförenliga blandas samman.
Dessa betyder emellertid helt olika saker och är snarare varandras motsats.
Två händelser är oförenliga (disjunkta) om A ∩ B = ∅, medan A och
B är oberoende om P (B | A) = P (B). I det förra fallet är A och B inte
oberoende ty P (B | A) = P (B ∩ A)/P (A) = 0/P (A) = 0, alltså inte lika
med P (B).
2.5.1 Lagen om total sannolikhet
Ibland kan det vara svårt att räkna ut en sannolikhet medan den skulle ha
varit lättare att beräkna om man haft någon ytterligare information. Man kan
då använda sig av lagen om total sannolikhet.
SATS 2.6 (LAGEN OM TOTAL SANNOLIKHET)
Låt A1, . . . An vara oförenliga händelser sådana att P (Ai) > 0, i = 1, . . . n,
och anta att händelserna tillsammans utgöra hela utfallsrummet (dvs. Ai ∩
Aj = ∅, i = j, och ∪ n
i=1 Ai = Ω). Då gäller
BEVIS
P (B) =
n
P (B | Ai)P (Ai).
i=1
Från satsens förutsättningar gäller att B = ∪ n
i=1 (B ∩ Ai), vi delar helt
enkelt upp händelsen B beroende på vilken Ai-händelse utfallen ligger i.
Eftersom Ai-mängderna är oförenliga är även de mindre mängderna B ∩
Ai oförenliga. Vi kan då applicera punkt 3’ i Kolmogorovs axiomsystem
(Definition 2.2, sidan 6), dvs.
P (B) = P (∪ n
i=1 (B ∩ Ai)) = n i=1 P (B ∩ Ai).
Slutligen ger definitionen för betingad sannolikhet att P (B ∩ Ai) = P (B |
Ai)P (Ai) varmed satsen är bevisad.