STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 24 – # 28
24 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
EXEMPEL 2.12 (Parvis men inte fullständigt oberoende)
Betrakta försöket att kasta två tärningar, en röd och en svart. Låt A vara
händelsen att den röda tärningen visar udda antal prickar, B händelsen
att den svarta tärningen visar udda antal prickar, och slutligen C händelsen
att summan blir udda. Om bägge tärningarna visar udda blir ju
summan jämn, så P (A ∩ B ∩ C) = 0. Eftersom de tre händelserna var
och en har positiv sannolikhet blir produkten av sannolikheterna positiv,
P (A)P (B)P (C) > 0, så händelserna är uppenbarligen inte fullständigt
oberoende. De är emellertid parvis oberoende vilket vi nu skall visa. Händelserna
A och B är ju uppenbart oberoende eftersom de två tärningarnas
utfall ej beror av varandra, dvs P (A∩B) = P (A)P (B) = 3/6·3/6 = 1/4.
Vi beräknar nu P (C ∩ A) = P (C | A)P (A). Denna blir ju lika med
P (C)P (A) om vi kan visa att P (C | AA) = P (C), dvs att sannolikheten
för att summan är udda betingat på att den röda tärningen visar udda antal
prickar är densamma som den obetingade sannolikheten att summan
är udda. Men om den röda visar udda antal prickar blir summan jämn
om den svarta visar jämt antal prickar, alltså sker detta med sannolikhet
3/6=1/2. Vad är då den obetingade sannolikheten att summan blir udda,
dvs P (C)? Totalt kan den röda och svarta träningen resultera i 36 olika
utfall: (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6), och alla utfall har samma
sannolikhet 1/36. Man kan lätt förvissa sig om att 18 av utfallen resulterar
i udda antal prickar (t.ex. ser man att för varje utfall av röda tärningen har
3 av 6 utfall udda summa) vilket implicerar att P (C) = 18/36 = 1/2. Vi
har därmed visat att P (C ∩ A) = P (C)P (A) och P (C ∩ B) = P (C)P (B)
visas helt analogt – färgen på tärning spelar ingen roll. Således är de tre
händelserna parvis oberoende men inte fullständigt oberoende.
Ett vanligt fall av oberoende händelser är om ett slumpförsök upprepas,
men där utfallen inte har med varandra att göra. Om man t.ex. mäter blodtrycket
på två slumpvis valda patienter eller om man mäter flyghastigheten
hos två starar som inte flyger tillsammans kan utfallen av de två blodtrycken
anses oberoende, liksom även stararnas hastigheter. Händelser förknippade
med olika upprepningar av respektive försök blir då oberoende.
EXEMPEL 2.13 (Färgblindhet och diabetes)
En stor medicinsk studie slår fast att förekomsten av färgblindhet (F )
är oberoende av diabetes (D). Om andelen färgblinda i populationen är
P (F ) = 0.042 och andelen diabetiker är P (D) = 0.02, betyder det att
andelen färgblinda bland diabetikerna är lika med P (F | D) = P (F ) =