STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 23 – # 27
2.5 BETINGNING OCH OBEROENDE 23
ANMÄRKNING 2.4
Av definitionen följer att om A och B är oberoende så är även A och B c ,
A c och B samt A c och B c oberoende. Beviset av detta överlåter vi till
läsaren (Övning 2.24).
Man kan även definiera oberoende utan att använda sig av betingade sannolikheter
vilket dock inte lika tydligt stämmer med vardagligt bruk av ordet
oberoende. Matematiskt blir definition något enklare eftersom man inte behöver
förutsätta att vissa sannolikheter är större än noll, vilket gjordes ovan
beroende på att betingade sannolikheter definieras som ett bråk vilket förutsätter
att nämnaren är positiv.
DEFINITION 2.6 (ALTERNATIV DEFINITION: OBEROENDE HÄNDELSER)
Två händelser A och B är oberoende om
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
ANMÄRKNING 2.5
Under förutsättning att händelserna ifråga har positiv sannolikhet är
denna definition ekvivalent med den ursprungliga. Förutsatt att händelserna
är oberoende enligt den alternativa definition får vi nämligen att
P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) = P (A)P (B)/P (B) = P (A). Den omvända
relation visas analogt.
ANMÄRKNING 2.6
En mängd händelser A1, A2, . . . sägs vara parvis oberoende om för alla
par i = j gäller att P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj).
Mängden händelser sägs vara fullständigt oberoende om det för alla
distinkta delmängder {Ai1 , . . . , Aik } med i1 < · · · < ik gäller att
P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · . . . · P (Aik ). Motsvarande definitioner kan
även göras med betingade sannolikheter om händelserna antas ha positiv
sannolikhet.
Att händelser kan vara parvis oberoende utan att vara fullständigt oberoende
visas med följande exempel.