STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 22 – # 26
22 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
SATS 2.5 (PRODUKTREGELN)
I ett träddiagram med flera nivåer ges sannolikheten för en väg av produkten
av sannolikheterna längs vägen.
Slutligen, sannolikheten att andra kortet är ett ess, dvs. P (B), är inte lika
självklar vad den skall vara. Händelsen B kan ju inträffa antingen i kombination
med att A inträffar eller att A c inträffar. Sannolikheten P (A ∩ B) har
vi redan räknat ut och P (A c ∩ B) blir på motsvarande sätt P (A c )P (B | A c ).
Vi utnyttjar så summaregeln för att komma fram till att P (B) = P (A)P (B |
A) + P (A c )P (B | A c ) = 4/52 · 3/51 + 48/52 · 4/51. Denna relation gäller
i allmänhet och inte bara för detta exempel. Motsvarande relation om man
delar upp utfallsrummet i godtyckligt många delar, i stället för bara A och A c
som här, gäller också och kallas för lagen om total sannolikhet, se Sats 2.6
längre fram på sidan 25.
När man är intresserad av sannolikheter för flera olika händelser i ett
slumpexperiment är det ofta av intresse om händelserna beror av varandra.
Om de inte gör det sägs händelserna vara oberoende, ett begrepp vi nu skall
definiera. I vardagligt tal tolkar man uttrycket att ”två händelser sker oberoende
av varandra” som att händelserna inte har med varandra att göra, dvs.
att vetskapen om att den ena händelsen inträffat inte påverkar vad vi tror om
den andra händelsen.
EXEMPEL 2.11 (Lotto och regn i Peru)
Betrakta händelserna L =att vinna på Lotto en viss dag, och R = att det
regnar i Peru samma dag. Dessa händelser har uppenbarligen inget med
varandra att göra varför vi säger att de är oberoende. Med detta menar
vi att sannolikheten att vinna på Lotto är densamma densamma vare sig
det regnar i Peru eller ej, och omvänt att sannolikheten för regn i Peru
är densamma vare sig vi vinner på Lotto eller ej. Det betyder alltså att
P (L | R) = P (L) och P (R | L) = P (R).
Detta exempel motiverar följande definition av oberoende.
DEFINITION 2.5 (OBEROENDE HÄNDELSER)
Två händelser A och B är oberoende om P (A | B) = P (A) förutsatt att
P (B) > 0, och P (B | A) = P (B) förutsatt att P (A) > 0.