STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 20 – # 24
20 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
DEFINITION 2.4 (BETINGAD SANNOLIKHET)
Antag att för händelen A gäller P (A) > 0. Den betingade sannolikheten
för händelsen B, betingat av att A har inträffat, skrivs P (B | A) och defi-
nieras som
EXEMPEL 2.9 (EU-inställning)
P (B | A) :=
P (B ∩ A)
.
P (A)
Vid en opinionsmätning ställs två frågor: ”Vill Du ha en folkomröstning
om EU:s nya grundlag?” respektive ”Stödjer Du EU:s nya grundlag?”.
Andelen som vill ha folkomröstning visar sig vara 37% och andelen som
vill ha folkomröstning och samtidigt stöder EU:s nya grundlag är 9%. Förutsatt
att opinionsmätningen är representativ betyder detta att om man väljer
en individ slumpmässigt ur befolkningen och den visar sig vara positiv
till folkomröstning så är den därav betingade sannolikheten att individen
är positiv till EU:s nya grundlag lika med P (E | F ) = P (E ∩ F )/P (F ) =
0.09/0.37 = 0.24, där E är händelsen att individen är positivt till EU:s
nya grundlag och F händelsen att personen är positiv till att ha folkomröstning.
EXEMPEL 2.10 (Fortkörning)
Vid en hastighetskontroll vid en skola visar det sig att 30% av fordonen
överskrider tillåten hastighet och att 4% överskrider tillåten hastighet med
mer än 30 km/h (vilket resulterar i indraget körkort). Om vi låter A vara
händelsen att ett fordon körs för fort och B händelsen att man kör mer
än 30 km/h för fort får man således att sannolikheten för att en fortkörning
resulterar i indraget körkort till P (B | A) = P (B ∩ A)/P (A) =
P (B)/P (A) = 0.04/0.3 = 0.133. Observera här att händelsen B ligger
inuti händelsen A, vilket skrivs som B ⊂ A (kör man mer än 30 km/h för
fort så kör man ju för fort) så B ∩ A = B och P (B ∩ A) = P (B).
Betingade sannolikheter dyker upp på ett naturligt sätt i träddiagram med
slumpexperiment i flera steg. Om vi t.ex. först tänker oss att ett slumpexperiment
avgör om A eller dess komplement A c inträffar, och därefter att
ett experiment avgör om B inträffar eller ej, då kan detta illustreras med ett