STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 19 – # 23
2.5 BETINGNING OCH OBEROENDE 19
b) Antag att man även vid nästa lektionstillfälle gör en ny gruppindelning
helt slumpmässigt och oberoende av gruppindelningen gången
innan. Vad är sannolikheten att du som student har samma tre studenter
i gruppen bägge gångerna? Vad är sannolikheten att det blir två
studenter från förra gruppen, en från förra gruppen, respektive ingen
student från förra gruppen?
ÖVNING 2.22
Bevisa likheten n n−1 n−1 k = k−1 + k . (L)
2.5 Betingning och oberoende
Vi ska nu presentera de två viktiga begreppen betingning och oberoende som
bägge rör (minst) två händelser.
Ibland är man intresserad av sannolikheten för en viss händelse B betingat
av att man vet att en annan händelse A har inträffat. Detta skrivs som
P (B | A) och läses som sannolikheten för B betingat av (eller givet) att A
har inträffat.
EXEMPEL 2.8 (Kortdragning)
Antag att vi skall dra två kort från en kortlek, och låt A vara händelsen att
första kortet är ett ess och B händelsen att andra kortet är ett ess. Då är
P (B | A) = 3/51 eftersom, om första kortet blev ett ess vilket ju var händelsen
A som vi betingar på, det finns 51 kort kvar vid andra dragningen
varav 3 är ess.
Nedan följer en definition av betingad sannolikhet i termer av redan kända
begrepp. Låt oss först motivera definitionen. Vi vet alltså att A har inträffat
och undrar vad den därav betingade sannolikheten för att B skall inträffa är
(vi antar även att P (A) > 0)). Denna sannolikhet måste ju vara större ju
”mer” av händelsen A som finns i B. Om t.ex. A och B är oförenliga, dvs.
A ∩ B = ∅ och således P (A ∩ B) = 0, så måste vi ju ha P (B | A) = 0. Om
å andra sidan hela A finns i B, dvs A ∩ B = A och P (A ∩ B) = P (A), så
skall det gälla att P (B | A) = 1 eftersom B måste inträffa om A inträffar.
Definitionen nedan uppfyller dessa krav.