STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 16 – # 20
16 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
2.4 Kombinatorik
I Exempel 2.6 visades att det fanns tre olika sätt på vilket man kunde få två
klave på tre försök, dvs. det var tre sätt på vilket de två ”klavesinglingarna”
kunde väljas ut bland de tre slantsinglingarna.
Vi ska nu reda ut på hur många sätt man kan göra olika val. Vårt första
steg i den riktningen är den s.k. multiplikationsprincipen. Den säger att om
vi har två val att göra, och i första valet har j alternativ och i andra valet har
k alternativ så finns det totalt j · k kombinationer av val att göra.
En annan typ av val man ofta stöter på i sannolikhetsteori och annan matematik
är s.k. val utan återläggning. Det handlar då om att beräkna hur många
gånger man kan välja ut k ”element” bland n ”element” (i Exempel 2.6 var
k = 2, n = 3 och det som valdes var positionerna bland de tre kasten där
man fick klave). Svaret beror på om vi tar hänsyn till i vilken ordning de k
elementen väljs ut eller inte.
Om man tar hänsyn till ordningen i vilket de k elementen väljs ut kan
man enligt multiplikationsprincipen välja det första elementet på n sätt, det
andra kan man därefter välja på n − 1 och så vidare fram till det k:te som
kan väljas på n − k + 1 sätt. Totalt kan detta således ske på n(n − 1) · · · (n −
k + 1) sätt. Oftare är man dock inte intresserad av i vilken ordning de k
elementen har valts utan bara vilka element som valts. Om vi har valt ut k
element kan detta ha skett i ett antal olika ordningsföljder. Det först utvalda
kan ha varit vilket som helst av de k elementen, det därpå följande utvalda
kan ha varit vilket som helst av de k − 1 återstående, osv. Det finns således
k(k − 1) · · · 1 olika ordningsföljder som kan ha givit de k utvalda elementen.
Denna produkt skrivs ofta som k! = k(k − 1) · · · 1 och utläses ”k-fakultet”
(t.ex. är 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24). För talet noll måste man införa en separat
definition som är 0! = 1 (man kan argumentera för att detta är den naturliga
definition men vi går inte vidare in på detta).
Vill man inte ta hänsyn till ordningsföljden ger alla dessa k! ordningsföljder
samma k utvalda element. Slutsatsen är således att antalet sätt med vilket
man kan välja ut k element bland n, utan hänsyn till ordning, är lika med
n(n − 1) · · · (n − k + 1)/k! vilket är detsamma som n!/(k!(n − k)!). Eftersom
detta
är ett vanligt förekommande begrepp har det fått en egen beteckning,
n
k som läses ”n över k” och kallas för en binomialkoefficient. På engelska
läses detta ”n choose k” vilket bättre beskriver vad binomialkoefficienten
innebär. Av samma skäl hade kanske ”n välj k” varit en bättre utläsning av
notationen, men n över k är redan etablerat. Vi formulerar resultaten ovan i
en sats.