STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 181 – # 185
3.66 a) 0.0548, b) 0.3446, c) 0.6449.
3.67 a) 0.92, b) 0.998, c) 1.0000 (med minst 4 siffrors noggrannhet).
3.68 Barn: 15.9%, vuxna 3.6%.
3.69 φX(t) = e mut+σ2 t 2 /2 .
3.70 Fanns tidigare men nu uppdelat i a), b), c).
3.71 E(X) = E(Y ) = 7/12, V (X) = V (Y ) = 11/144 ≈ 0.0764,
C(X, Y ) = 1/3 − (7/12) 2 ≈ −0.00694 och ρ(X, Y ) ≈ −0.091.
3.72 a) fX|Y (x | y) = (x + y)/(x + 0.5), b) E(X | Y = y) = (2 + 3y)/(3 + 6y),
E(X | Y = y) avtar i y så väntevärdet är störst för E(X | Y = 0) = 2/3 och
minimum vid E(X | Y = 1) = 5/9.
3.75 a) 0.0387, b) 2.4, c) 1.386, d) -0.32.
3.76 a) Multinomial n = 25, pU = 0.2, pG = 0.55 och pV G = 0.25.
b) 0.0342, c) 2, d) 2.487, e) -0.289.
3.77 a) 0.167, b) 3.25, c) 4.30.
3.78 0.9772, b) 0.667, c) 0.0319, d) 0.260.
3.79 a) N(µ = 1.25, σ = 0.433),
b) P (X > 1|Y = 3) ≈ 0.719 och P (X > 1) = 0.5.
3.81 f(x) = 100 − x, x < 100 och f(x) = 0 annars.
P (Y = 0) = P (X > 100) ≈ 0.9332.
P (1 < Y < 2) = P (98 < X < 99) ≈ 0.0166.
FY (2) = P (X > 98) ≈ 0.9938.
3.82 FY (y) = 1 − e −λ√ y , fY (y) = λe −λ√ y /2 √ y och E(Y ) = 2λ 2 .
3.83 E(X 3 ) = 250, E(X 4 ) = 2000.
3.85 a) pX,Y (j, aj + b) = pX(j) och pX,Y (j, k) = 0 för övriga k.
b) C(X, Y ) = aV (X), ρ(X, Y ) = 1 om a > 0 och ρ(X, Y ) = −1 om a < 0.
3.86 a) E( ¯X1) = E( ¯X10) = E( ¯X100) = 10.
b) D( ¯X1) = 2, D( ¯X10) ≈ 0.632 och D( ¯X100) = 0.2.
c) n ≥ 400.
3.87 pY (k) = 1−FX(g −1 (k))−FX(g −1 (k)−1), fY (y) = fX(g −1 (y))/|g ′ (g −1 (y))|.
3.88 a) FT (t) = (1 − e −1 ) 2 , FS(t) = 1 − e −t/2 .
b) följer av att t 2 < t/2 för små t.
3.89 a) Y ∼ Geo(p), b) E(Y ) = λq/p, V (X) = λq/p + λ 2 q/p 2 , där q = 1 − p.
3.90 ρX(s) = e −λ(1−s) .
3.91 φY (t) = β(β − t) för t < β.
3.92 E(Z) ≈ E(X)/E(Y ), V (Z) ≈ V (X)/(E(Y )) 2 + (E(X)) 2 V (Y )/(E(Y )) 4 .
3.93 E(Y ) = 174, V (Y ) = 61, D(Y ) ≈ 7.81.
3.95 a) 0.45, b) n ≥ 90.
3.96 a) 0.037, b) 0.3.
3.98 a) E(Yn) = 1 för alla n.
181