STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 179 – # 183
3.4
eller något annat intervall inom vilket man säkert vet att alla chokladkakors
vikt ligger). Slumpvariabeln X(u) som anger hur mycket för lite en chokladkaka
med vikt u väger blir då X(u) = 100 − u för u < 100 och X(u) = 0 för
u ≥ 0.
pY (0) = 0.765, pY (1) = 0.096, pY (2) = 0.098 och P (Y ≥ 3) = 0.041.
P (Y ≤ 2) = 0.959, P (1 ≤ Y ≤ 2) = 0.194, P (Y > 1) = 0.1386.
3.5 a) Från sannolikhetsaxiomen följer att pX(4) = 1−(pX(1)+pX(2)+pX(3)) =
0.1. P (X ≤ 2) = pX(1) + pX(2) = 0.5.
b) Kravet 4 x=1 pY (x) = 1 ger att (0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5)c = 1, dvs. c =
1/1.4 ≈ 0.714. P (Y > 2) = 1 − P (Y ≤ 1) = 1 − (0.2 + 0.3)c ≈ 0.357.
3.6 P (Z ≤ 49) = 0.3, P (Z > 51) = 0.1.
3.7 pX(0) = 0.002, pX((1) = 0.038, pX(2) = 0.279, pX(3) = 0.682.
3.8 a) 0.25, b) 0.56.
3.9 FX(x) = 0, x < 0, FX(x) = 0.765, 0 ≤ x < 1, FX(x) = 0.861, 1 ≤ x < 2,
FX(x) = 0.959, 2 ≤ x < 3, FX(x) = 1, x ≥ 3.
3.10 Sätt Aa = {u; X(u) ≤ a} och Ab = {u; X(u) ≤ b} och A(a,b] = {u; a <
X(u) ≤ b}. Då gäller att Aa ∩A(a,b] = ∅ och Aa ∪A(a,b] = Ab. Från Kolmogorovs
axiomsystem har vi därför P (Ab) = P (Aa ∪A(a,b]) = P (Aa)+P (A(a,b]),
dvs. FX(b) = FX(a) + P (a < X ≤ b) vilket är vad som skulle visas.
3.11 a) FX(x) = 2x − 5 för 2.5 ≤ x ≤ 3, FX(x) = 0 för x < 2.5, FX(x) = 1 för
x > 3, b) 0.4, c) 1, d) 0.4, e) 3.33
3.12 a) c = 2, c) FY (y) = y2 för 0 ≤ y ≤ 1, d) λY (y) = 2y/(1 − y2 )
3.13 a) fY (y) = 1/ ln(5)y, 1 ≤ y ≤ 5,
d) (ln(4) − ln(3))/ ln(5).
b) ln(y)/ ln(5), c) ln(2)/ ln(5),
3.14
3.15
fY (y) = 2y för 0 ≤ y ≤ 1 och 0 för övrigt.
E(X) = 3.2, D(X) = √ 12.4 ≈ 1.47.
3.16 a) 2.75, b) x0.5 = 2.75, c) 0.021, d) 0.144, e) 0.052.
3.17 a) 2/3, b) 0.707, c) 1/18, d) 0.736.
3.21 P (X ≥ 200) ≤ 0.05, så x0.05 ≤ 200.
3.22 P (|Y | ≥ 4) ≤ 4/42 = 0.25.
X
3.23 a) W = Yk, där {Yk} är oberoende och exponentialfördelade. Om X = 0
k=1
blir även W = 0, vilket inträffar med sannolikhet 1/3. W kan därför skrivas
som
0 med sannolikhet 1/3,
W = Z 1 Yk med sannolikhet 2/3,
där Z = X|X > 0 ∼ ffg(1/3).
b) E(W ) = 2.
179