STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2007-10-08 – sida 176 – # 180<br />
176 LEDNINGAR TILL VISSA AV ÖVNINGARNA<br />
Kapitel 3<br />
3.10 Definiera lämpliga händelser <strong>och</strong> använd Kolmogorovs axiomsystem.<br />
3.18<br />
3.20<br />
Beräkna E(Y ) på traditionellt sätt, härled FY (y) <strong>och</strong> beräkna integralen.<br />
För väntevärdet: Det gäller alltid att E(X) = a + (x − a)fX(x) dx. Visa att<br />
intgralen blir 0.<br />
För <strong>med</strong>ianen: Jämför a<br />
−∞ fX(x) dx <strong>och</strong> ∞<br />
a fX(x)<br />
3.23<br />
dx.<br />
X<br />
a) W = Yk, där {Yk} är oberoende <strong>och</strong> exponentialfördelade.<br />
k=1<br />
3.34<br />
b) E(W ) = E(X) · E(Y ).<br />
Beräkna E(X 2 ) på liknande sätt som i beviset för E(X) genom att i summan<br />
skriva k2 som k(k − 1) + k <strong>och</strong> summera uttrycken var för sig.<br />
3.47 Använd exakt samma bevis som användes för att härleda väntevärde <strong>och</strong> varians<br />
för en ffg-variabel.<br />
3.51 Använd att V (U) = E(U 2 ) − (E(U)) 2 <strong>och</strong> beräkna E(U 2 ).<br />
3.63 Använd Tabell 3.<br />
3.64 xα definieras som lösningen till P (X > xα) = α. Men P (X > xα) = 1 −<br />
Φ( xα−100<br />
3.69<br />
10 ).<br />
Skriv ut E(etX ) som en integral <strong>och</strong> kvadratkomplettera i exponenten så att<br />
allt som beror av integranden x finns inne i kvadraten.<br />
3.73 Visa<br />
<br />
alltså att det för alla endimensionella mängder A gäller att P (X ∈ A) =<br />
∞<br />
A 0 fX,Y (x, y)dy dx genom att använda vad fX,Y (x, y) måste satisfiera<br />
för att vara en täthetsfunktion.<br />
3.74 Uttryck pX,Y (x, y) i termer av FX,Y (x, y).<br />
3.84 Beräkna sannolikhetsfunktionen pX(k) genom betingning: P (X = j) =<br />
∞ k=j P (X = j | Y = k)P (Y = k) <strong>och</strong> skriv om denna summa så att det<br />
innanför summation blir en Poissonsumma som summerar sig till 1.<br />
3.89 Betinga <strong>med</strong> avseende på Y <strong>och</strong> använd formlerna för väntavärden <strong>och</strong> varians<br />
via betingning på annan variabel.<br />
3.93 Betinga <strong>med</strong> avseende på om personen var en man eller en kvinna (X = 0<br />
kan symbolisera man <strong>och</strong> X = 1 symbolisera kvinna)<strong>och</strong> använd formlerna<br />
för väntevärde <strong>och</strong> varians <strong>med</strong>elst betingning av en annan variabel.<br />
3.95 Använd Chebyshevs olikhet.<br />
3.97 Beräkna E(Yn/n) <strong>och</strong> V (Yn/n) <strong>och</strong> använd Chebyshevs olikhet.<br />
3.98<br />
3.101<br />
Använd Chebyshevs olikhet. <br />
Använd definitionen φY (t) = E e n i=1 aiXit<br />
<br />
<strong>och</strong> utnyttja oberoendet för att<br />
skriva detta som en produkt av väntevärden.
Change language