STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

170 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 170 – # 174
Antag nu i stället att varken p eller 1 − p är så små, eller närmare bestämt
att både np och n(1 − p) är någorlunda stora. Från tidigare vet vi att
Y ∼ Bin(n, p) kan skrivas som summan av n Bernoullifördelade slumpvariabler
(Y = n i=1 Xi), alla med samma p. Från normalapproximationen i
föregående avsnitt vet vi därför redan att Y är approximativt normalfördelad.
Väntevärdet är np och standardavvikelsen np(1 − p). Med halvkorrektion
får vi följande approximation.
METOD 3.6 (NORMALAPPROXIMATION AV BINOMIALFÖRDELNINGEN)
Antag att Y ∼ Bin(N, p) där np(1 − p) > 10. Då gäller att X kan approximeras
med N(np, np(1 − p)), med användning av halvkorrektion.
Fördelningsfunktionen approximeras således av
FY (k) ≈ Φ
k + 0.5 − np
np(1 − p)
,
där Φ(·) är fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen
som finns tabulerad i Tabell 4.
EXEMPEL 3.58
Vid en bilaffär efterfrågas färgen silvergrå av 30% kunderna i det långa
loppet. Under en vecka har affären 97 besök som resulterar i beställning
av bil. Antalet Y av dessa som beställer silvergrå är då Y ∼ Bin(97, 0.3)
vilket alltså kan approximeras med N(97 · 0.3 = 29.1, √ 97 · 0.3 · 0.7 ≈
4.51) eftersom np(1 − p) = 97 · 0.3 · 0.7 = 20.37 > 10. Om vi t.ex. vill
beräkna sannolikheten att mellan 20 och 40 bilar beställs med silvergrå
färg får vi
P (20 ≤ Y ≤ 40) = FY (40) − FY (19)
40.5 − 29.1 19.5 − 29.1
≈ Φ
− Φ
≈ 0.978.
4.51
4.51
Vi avslutar med en sista approximation som redan nämnts och som är ett
specialfall av normalapproximation, nämligen för fallet med Poissonfördelningen
då λ är ganska stort. Som tidigare nämnt kan ju t.ex. Poissonfördelning
med väntevärde λ = n skrivas som summan av n oberoende Poissonvariabler,
alla med väntevärde 1. Av detta följer att normalapproximation kan