STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 169 – # 173
3.14 APPROXIMATIONER AV FÖRDELNINGAR 169
räkna med binomialfördelningen exakt. Om p > 0.9 kan även då fördelningen
approximeras med Poissonfördelningen genom att i stället för antal lyckade
Y betrakta antalet misslyckade n − Y som då blir Bin(n, 1 − p)
METOD 3.5 (POISSONAPPROXIMATION AV BINOMIALFÖRDELNING)
Antag att Y ∼ Bin(n, p) där p < 0.1. Då gäller att Y kan approximeras
med Po(λ = np), dvs att
pY (k) ≈ (np)k
k! e−np .
Om Y ∼ Bin(n, p) där p > 0.9 kan fördelningen för Y approximeras med
talet n minus en Po(λ = n(1 − p))-fördelning. Närmare bestämt kan sannolikhetsfunktionen
för Y approximeras med
pY (k) ≈
(n(1 − p))n−k
e
(n − k)!
−n(1−p) .
ANMÄRKNING 3.52
Poissonapproximationen av binomialfördelningen är ett exempel på vad
som brukar kallas de små talens lag. Det är i själva verket så att det finns
flera andra liknande situationer då man kan approximera med Poissonfördelningen,
t.ex. om man betraktar många försök (inte nödvändigtvis
oberoende eller likafördelade), men där varje försök har liten chans att
lyckas. Att man säger ”små talens lag” syftar alltså på att sannolikheterna
är små.
EXEMPEL 3.57
Varje enskilt år löper individer i Sverige en (mycket) liten sannolikhet att
dö av blixtnedslag. Om vi intar att denna sannolikhet är 1/2 · 10 6 och
Sverige består av 9 · 10 6 individer betyder det att ett enskilt år så kommer
antalet som dör av blixtnedslag således att bli Bin(n = 9 · 10 6 , p = 1/2 ·
10 6 ). Detta kan med väldigt hög noggrannhet (eftersom p är mycket litet
och n mycket stort) approximeras med Po(9 · 10 6 /2 · 10 6 = 4.5). Om
vi t.ex. vill beräkna sannolikheten att minst 10 personer omkommer av
blixtnedslag ett enskilt år så ges den av P (Y ≥ 10) = 1 − P (Y ≤ 9) och
motsvarande sannolikhet för Po(4.5) fås från Tabell 3 och blir 1−0.9829 =
0.0171.