STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 167 – # 171
3.14 APPROXIMATIONER AV FÖRDELNINGAR 167
1. En stor ändlig population är ungefär detsamma som en oändlig population.
2. Om ett försök som upprepas har liten sannolikhet, p, att lyckas i varje enskilt
försök, så är det förväntade antal lyckade försök en mycket viktigare
parameter än hur många försök som utfördes.
3. Om många oberoende observationer görs, och det totala förväntade värdet
och standardavvikelsen är relativt stora så är summan och medelvärdet
approximativt normalfördelade.
Påstående 3 ovan är helt enkelt normalapproximationen från föregående avsnitt,
medan de andra inte presenterats tidigare.
Den första principen är av intresse när man har att göra med hypergeometrisk
fördelning. En slumpvariabel X sades vara hypergeometriskt fördelad
med parametrar N, n och m, där N var populationens storlek, m antalet
i populationen som har en viss egenskap av intresse, och slumpvariabeln X
anger hur många bland n utan återläggning dragna element som har egenskapen
av intresse. Som nämndes när den hypergeometriska fördelningen presenterades
uppstår ett beroende mellan dragningar eftersom den kvarvarande
populationsandelen med egenskapen efterhand ändras. Om å andra sidan populationsstorleken
N är relativt stor och vi inte drar alltför många element n
är detta beroende mycket svagt vilket motiverar att vi kan approximera den
hypergeometriska fördelningen med fördelningen då vi i varje dragning har
samma sannolikhet att få egenskapen och där dragningarna sker oberoende,
dvs med binomialfördelningen med parametrar n och p = m/N (som är sannolikheten
för lyckat, dvs att vi får egenskapen av intresse).
Argumentet ovan är inte matematiskt stringent men syftar till att motivera
approximationen. Rent matematiskt baseras approximation på det faktum att
när N är stor och n/N liten så gäller
pX(k) =
mN−m k n−k
N n
≈
n
k
m
N
k
n−k
N − m
,
N
och det senare är sannolikhetsfunktionen för just Bin(n, m/N). Approximation
gäller med likhet asymptotiskt om k och n är fixa, medan N → ∞ och
m → ∞ på ett sådant sätt att m/N → p där 0 < p < 1. Tumregeln som brukar
användas för att få använda approximation är att n/N < 0.1.