STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

166 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 166 – # 170
kraftigt förbättrad approximation. I enstaka fall kan approximation förbättras
ännu mer, men vi nöjer oss med att presentera denna viktigaste förbättring av
approximationen.
METOD 3.3 (HALVKORREKTION)
Låt X vara en diskret slumpvariabel och antag att dess fördelning kan approximeras
av en kontinuerlig fördelning FY . Då förbättras approximationen
med halvkorrektion som definieras av
FX(k) ≈ FY (k + 0.5).
EXEMPEL 3.56
Antag att X är diskret med väntevärde 3 och standardavvikelse 0.8, och
att X1, . . . , X10 är 10 observationer från denna fördelning. Från centra-
la gränsvärdessatsen kan vi alltså approximera fördelningen för 10
i=1 Xi
med normalfördelningen med väntevärde nµ = 30 och standardavvikelse
σ √ n = 0.8 √ 10 ≈ 2.53. Antag att vi vill approximera P ( 10
i=1 Xi ≤ 32).
Om vi inte använder halvkorrektion får vi
10
32 − 30
P Xi ≤ 32 ≈ Φ
= Φ(0.79) = 0.7852.
2.53
i=1
Med halvkorrektion blir approximationen däremot
10
32.5 − 30
P Xi ≤ 32 ≈ Φ
= Φ(0.98) = 0.8365.
2.53
i=1
Som synes skiljer sig approximationerna åt ganska mycket och man kan
utgå från att halvkorrektionen ger en bättre approximation.
3.14.2 Approximationer för några vanliga fördelningar
Vi ska nu presentera några fördelningar som kan approximeras av andra
enklare fördelningar i vissa specialfall. Bakom varje föreslagen approximation
finns en gränsvärdessats som motiverar den, men vi presenterar bara approximationerna.
Approximationerna som nämns baseras på följande 3 huvudprinciper: