STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ÖVNING 3.100<br />
2007-10-08 – sida 165 – # 169<br />
3.14 APPROXIMATIONER AV FÖRDELNINGAR 165<br />
Antag att Y ∼ Re(0, 4), dvs fY (y) = 1/4, 0 ≤ y ≤ 4. Låt Y1, . . . Y10 vara<br />
oberoende <strong>med</strong> denna fördelning.<br />
a) Beräkna P (1.8 ≤ Y ≤ 2.2).<br />
b) Beräkna E(Y ) <strong>och</strong> D(Y ).<br />
c) Beräkna P (1.8 ≤ ¯Y10 ≤ 2.2) approximativt.<br />
ÖVNING 3.101<br />
Visa att om X1, . . . , Xn är oberoende slumpvariabler så gäller det att<br />
den momentgenererande funktionen φY (t) för Y = n i=1 aiXi satisfierar<br />
φY (t) = n i=1 φXi (ait). (L)<br />
3.14 Approximationer av fördelningar<br />
I de tidigare avsnitten när vi behandlat specifika fördelningar har vi på ett<br />
par ställen nämnt att fördelningen ifråga för vissa val av parametrar liknar<br />
andra fördelningar. I detta avsnitt ska vi sammanfatta dessa approximationer<br />
av fördelningar. De kan vara till nytta när man ska beräkna sannolikheter<br />
<strong>och</strong> har problem att göra detta, men de kan också bidra till ökad förståelse<br />
genom att de bidrar till insikten om egenskaper hos fördelningar som gör att<br />
de liknar andra fördelningar. Innan vi går igenom dessa approximationer går<br />
vi först igenom ett generellt ”knep” som förbättrar approximationen i fallet<br />
att man approximerar en diskret fördelning <strong>med</strong> en kontinuerlig fördelning.<br />
3.14.1 Halvkorrektion<br />
Antag att vi har en diskret (heltalsvärd) slumpvariabel X vars fördelning FX<br />
är svår att beräkna, men att vi i stället ska approximera den <strong>med</strong> en kontinuerlig<br />
fördelning FY . Det första man skulle göra är förstås att sätta FX(x) ≈<br />
FY (x). Eftersom X är diskret gäller dock t.ex. att FX(k + 0.9) = FX(k)<br />
så denna approximation skulle ge FX(k) = FX(k + 0.9) ≈ FY (k + 0.9).<br />
Vi skulle alltså <strong>med</strong> resonemanget ovan approximera FX(k) <strong>med</strong> allt mellan<br />
FY (k) upp till FY (k + 0.999 . . .). Eftersom vi bör ha en entydig rekommendation<br />
bör vi välja ett unikt värde. Det förefaller rimligt att välja mittvärdet<br />
vilket innebär att vi gör följande approximation FX(k) ≈ FY (k + 0.5). Detta<br />
är den s.k. halvkorrektionen. Denna korrigering visar sig ofta innebära en
Change language