STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

164 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
EXEMPEL 3.55
2007-10-08 – sida 164 – # 168
Antag att X1, X2, . . . är exponentialfördelade med intensitet 3 (Xi ∼
Exp(3)). Vi vet från tidigare att detta medför att E(Xi) = 1/3 och
D(Xi) = 1/3. Om vi gör 10 observationer gäller alltså att 10 i=1 Xi är
approximativt normalfördelad med väntevärde 10/3 ≈ 3.33 och standardavvikelse
√ 10/3 ≈ 1.054 medan medelvärdet är normalfördelat med väntevärde
1/3 och standardavvikelse 1/(3 √ n) ≈ 0.1054. Således gäller t.ex.
att
P (3.00 ≤
10
i=1
4.00 − 3.33 3.00 − 3.33
Xi ≤ 4.00) ≈ Φ
− Φ
1.054
1.054
≈ Φ(0.64) − Φ(−0.32) = 0.7389 − (1 − 0.6255) = 0.364.
För medelvärdet får vi t.ex. att
0.4 − 0.33 0.20 − 0.33
P (0.2 ≤ ¯X10 ≤ 0.4) ≈ Φ
− Φ
0.1054
0.1054
≈ Φ(0.64) − Φ(−1.26) = 0.7389 − (1 − 0.8962) = 0.635.
Varför är då centrala gränsvärdessatsen och dess approximation så viktig?
Den kanske allra viktigaste orsaken är att många slumpvariabler som dyker
upp i verkligheten i sin tur påverkas av ett flertal andra slumpvariabler (en
individs längd beror på ett flertal gener samt näringsintag under uppväxten,
ett fordons livslängd beror på alla dess körningar och väderpåverkan m.m.).
Centrala gränsvärdessatsen säger då att om inflytandet från andra slumpvariabler
är någorlunda linjärt så blir den studerade slumpvariabeln normalfördelad.
En annan viktig orsak till centrala gränsvärdessatsens betydelse är när
man vill dra slutsatser om en slumpvariabels väntevärde och man gör detta
genom att göra ett antal oberoende observationer från fördelningen ifråga och
bildar medelvärdet av dessa, mer om detta i Kapitel ??.
ÖVNING 3.99
Betrakta slumpvariabeln X med täthetsfunktion f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1,
och f(x) = 0 annars. Låt X1, . . . X20 vara oberoende och likafördelade
med denna fördelning.
a) Beräkna E(X) och D(X).
b) Beräkna P (10.0 ≤ 20
i=1 Xi ≤ 15.0) approximativt.