STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 163 – # 167
3.13 CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN 163
V (Z) = E(Z 2 ) = 1, så φZ(s) = 1+s 2 /2+O(s 3 ). Om vi väljer s = t/ √ n,
för givet t, får vi
φYn (t) = φZ(t/ √ n) n =
1 + t2
2n + O t3 n3/2 n
.
Om vi låter n → ∞ får vi därför att φYn (t) → et2 /2 vilket är mgf för den
standardiserade normalfördelningen.
Centrala gränsvärdessatsen uttalar sig om fördelningen då antalet observationer
n går mot oändligheten. Det som gör resultatet så viktigt är emellertid vad
som gäller innan n har gått mot oändligheten. Om vi har bildat medelvärdet
¯Xn, där n är ”någorlunda” stort, så gäller att medelvärdet är approximativt
normalfördelat. Detta approximativa resultat kallas för normalfördelningsapproximation
och baseras alltså på den asymptotiska centrala gränsvärdessatsen.
Från beviset såg vi att E( ¯Xn) = µ och D( ¯Xn) = σ/ √ n, och för
summan n i=1 Xi gäller E n i=1 Xi
n √
= nµ och D = σ n.
METOD 3.2 (NORMALFÖRDELNINGSAPPROXIMATION)
i=1 Xi
Låt X1, X2, . . . vara oberoende och likafördelade slumpvariabler med
E(Xi) = µ och D(Xi) = σ. Då gäller det att ¯Xn är approximativt
N(µ, σ/ √ n), och n i=1 Xi är approximativt N(nµ, σ √ n).
Således har vi approximationerna
b − µ
P (a ≤ ¯Xn ≤ b) ≈ Φ
σ/ √
a − µ
− Φ
n σ/ √
, (3.7)
n
n
d − nµ
P (c ≤ Xi ≤ d) ≈ Φ
σ √
b − nµ
− Φ
n σ √
. (3.8)
n
i=1
ANMÄRKNING 3.50
I fallet att X är kontinuerlig spelar det ingen roll om olikheterna ovan är
strikta eller ej eftersom sannolikheten att få exakt likhet är 0. För det diskreta
fallet spelar det däremot roll och approximationerna kan förbättras
med s.k. halvkorrektion som tas upp i nästa avsnitt (Avsnitt 3.14).
Vi illustrerar detta viktiga resultat med ett exempel.