STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

162 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 162 – # 166
ANMÄRKNING 3.49
Centrala gränsvärdessatsen finns i många olika versioner. T.ex. gäller den
även om slumpvariablerna inte är likafördelade under vissa bivillkor, om
slumpvariablerna är beroende förutsatt att beroendet är tillräckligt svagt,
och med ett svagare villkor än ändlig varians. Ett viktigt forskningsområde
inom sannolikhetsteorin består i själva verket av att försöka utreda
huruvida det existerar en central gränsvärdessats för den studerade situationen
eller inte.
BEVIS
Vi ger endast en skiss av beviset eftersom ett fullständigt bevis är lite för
omfattande. Det vi kommer att visa är att den momentgenererande funktionen
(mgf) för Yn = √ n
σ ( ¯Xn−µ) konvergerar mot den mgf för en standardiserad
normalfördelning. Den senare har mgf φ(t) = e t2 /2 vilket visades
i Exempel 3.51 på sidan 150. Det gäller nämligen, men visas inte, att om
en mgf konvergerar mot en annan mgf så konvergerar även fördelningen
mot den andra fördelningen.
Om vi standardiserar de ursprungliga variablerna X1, X2, . . . blir dessa
Zi = (Xi − µ)/σ. Det gäller då att
Yn =
√ n
σ ( ¯Xn − µ) =
n
Zi/ √ n.
i=1
Vi ska alltså visa att mgf för Yn = n
i=1 Zi/ √ n konvergerar mot e t2 /2 . Men
eftersom X1, X2, . . . är oberoende så är även Z1, Z2, . . . oberoende och då
gäller att
φYn (t) = E e n i=1 tZi/ √ n
=
n
i=1
E e tZi/ √ n
= φZ(t/ √ n) n ,
där den andra likheten visas i Övning 3.101 och den tredje beror på att alla
Zi har samma fördelning. Om vi Taylorutvecklar φZ(s) runt s0 = 0 får vi
φZ(s) = φZ(0) + sφ ′ s2
Z (0) +
2 φ′′ (0) + O(s 3 ).
Av definitionen för mgf gäller alltid att φ(0) = 1, och från Sats 3.34 på
sidan 151 vet vi att φ (k)
Z (0) = E(Zk ), där φ (k)
Z (0) är k:te derivatan evaluerad
i t = 0. Eftersom Z är standardiserad gäller att E(Z) = 0 och