STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 161 – # 165
3.13 Centrala gränsvärdessatsen
3.13 CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN 161
I föregående avsnitt visades att medelvärdet ¯Xn av en följd av oberoende
slumpvariabler X1, X2, . . ., alla med samma väntevärde µ och standardavvikelse
σ, konvergerade i sannolikhet mot µ när n → ∞. I det här avsnittet
ska vi studera fördelningen för ¯Xn − µ när n växer, och vi gör detta under antagandet
att slumpvariablerna inte bara har samma väntevärde och standardavvikelse,
utan att de har samma fördelning så att vi har ett stickprov från en
fördelning F .
Eftersom ¯Xn −µ går mot 0 i sannolikhet måste vi således skala upp ¯Xn −µ
för att finna något intressant. Vi studerar därför i stället den standardiserade
slumpvariabeln av ¯Xn. Från Följdsats 3.2 vet vi att E( ¯Xn) = µ och
D( ¯Xn) = σ/ √ n. Den standardiserade slumpvariabeln av ¯Xn ges således av
√ n
σ ( ¯Xn −µ), som alltså har väntevärde 0 och standardavvikelse 1 för alla n. Vi
måste alltså förstora, eller ”blåsa upp” avvikelserna från väntevärdet på √ nskalan.
Det märkliga är att denna standardiserade slumpvariabel konvergerar
mot en och samma fördelning (standardiserad normalfördelning) oavsett
vilken fördelning de ursprungliga slumpvariablerna, X1, X2, . . ., har. Detta
resultat kallas “Centrala gränsvärdessatsen” och får nog sägas vara sannolikhetsteorins
allra viktigaste resultat.
SATS 3.38 (CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN)
Låt X1, X2, . . . vara oberoende och likafördelade slumpvariabler med
E(Xi) = µ och D(Xi) = σ, där 0 < σ < ∞, och låt ¯Xn = n i=1 Xi/n. För
godtyckliga a < b gäller då att
√
n
P (a <
σ ( ¯Xn − µ) < b) → Φ(b) − Φ(a), då n → ∞,
där Φ(·) är fördelningsfunktionen för N(0, 1).
ANMÄRKNING 3.48
Det gäller alltså att fördelningen för √ n
σ ( ¯Xn − µ) alltmer liknar den stan-
dardiserade normalfördelningen. Ett alternativt sätt att skriva detta är
√ n
σ ( d ¯Xn − µ) −→ N(0, 1), där d står för engelskans ”distribution” som
betyder fördelning. Man säger att slumpvariabeln ifråga konvergerar i
fördelning mot N(0, 1).