STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

160 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 160 – # 164
alltså gissa, eller skatta, väntevärdet med medelvärdet. Detta förfarande är en
viktig ingrediens i statistisk inferensteori och behandlas senare i boken, bl.a.
i Kapitel ??.
ÖVNING 3.95
Antag att X1, X2, . . . är oberoende och likafördelade med väntevärde
E(Xi) = 10 och standardavvikelse D(Xi) = 1.5.
a) Uppskatta P (| ¯X20 − 10| > 0.5).
b) Hur många observationer måste man ta medelvärdet av för att motsvarande
sannolikhet inte ska överstiga 0.1.
ÖVNING 3.96
Antag att X1, X2, . . . är oberoende och likafördelade Bernoulli-variabler
med sannolikhet för lyckat utfall lika med 0.4, dvs Xi ∼ Be(p = 0.4).
Med andra ord har Xi sannolikhetsfunktion p(0) = 0.6 och p(1) = 0.4
vilket medför att E(Xi) = 0.4 och V (Xi) = 0.4 · 0.6 = 0.24. Det gäller
att antalet lyckade bland n = 20 försök, Y = 20 i=1 Xi, är Bin(n = 20, p =
0.4), och ¯X20 = Y/20.
a) Beräkna P (| ¯X20 − 0.4| > 0.2) = P (|Y − 8| > 4) exakt med hjälp av
Tabell 2.
b) Uppskatta P (| ¯X20 − 0.4| > 0.1) med hjälp av Chebyshevs olikhet.
ÖVNING 3.97
Som vi tidigare visat kan en Poissonfördelad slumpvariabel Yn med väntevärde
n (Po(n)) beskrivas som summan av n st oberoende Po(1) variabler.
Visa med hjälp av detta att Yn/n konvergerar i sannolikhet mot en konstant,
och vad denna konstant är. (L)
ÖVNING 3.98
Låt Y1, Y2, . . . vara en följd av slumpvariabler med tvåpunktsfördelning
sådana att Yn är lika med n med sannolikhet 1/n och 0 med resterande
sannolikhet (dvs P (Yn = 0) = 1 − 1/n och P (Yn = n) = 1/n).
a) Beräkna E(Yn).
p
b) Visa att det likväl gäller att Yn −→ 0. (L)