STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 159 – # 163
3.12 STORA TALENS LAG 159
Låt ¯Xn = 1 n n i=1 Xi vara medelvärdet av de n första variablerna. Då gäller,
för alla ɛ > 0, att
P (| ¯Xn − µ| > ɛ) → 0, då n → ∞.
ANMÄRKNING 3.46
Det faktum att P (| ¯Xn − µ| > ɛ) → 0 för alla ɛ > 0 brukar formuleras som
p
att ¯Xn konvergerar i sannolikhet mot µ och skrivs ofta som ¯Xn −→ µ (där
p syftar på engelskans ”probability”). Samma formulering och notation
p
kan gälla för andra sekvenser av slumpvariabler. Således betyder Yn −→
a detsamma som att P (|Yn − a| > ɛ) → 0 för alla ɛ > 0.
ANMÄRKNING 3.47
Ett viktigt specialfall är förstås när slumpvariablerna är likafördelade.
Om man speciellt inför indikatorvariabeln X som är 1 om händelse A
inträffar och 0 annars har man att µ = E(X) = 1 · P (A) + 0 · P (A c ) =
P (A), och ¯Xn är den relativa andelen som resulterar i händelsen A av n
försök. Satsen säger i detta fall att den relativa frekvensen A-händelser
konvergerar i sannolikhet mot P (A), då n → ∞.
BEVIS
Betrakta slumpvariabeln ¯Xn. Från Följdsats 3.2 på sidan 148 vet vi att
E( ¯Xn) = µ och D( ¯Xn) = σ/ √ n. Från Chebyshevs olikhet (Sats 3.7 på
sidan 67) får vi därför att
P (| ¯Xn − µ| > ɛ) ≤ V ( ¯Xn)
ɛ 2
σ2
=
nɛ
När n → ∞ går detta mot 0 vilket alltså bevisar satsen
Detta viktiga resultat är en av grundstenarna inom mer eller mindre all empirisk
vetenskap. Antag nämligen att man gör många oberoende observationer
av någon slumpvariabel, t.ex. hållfastheten hos en metall, blodtrycket hos patienter
behandlade med en ny medicin, eller livslängden hos personer i ett
försäkringskollektiv. Då kommer medelvärdet av dessa observationer att ligga
nära det sanna väntevärdet. Om vi inte vet det sanna väntevärdet kan vi
2 .