STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

158 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
ÖVNING 3.92
2007-10-08 – sida 158 – # 162
Låt X och Y vara oberoende positiva slumpvariabler. Definiera kvoten
Z = X/Y och beräkna approximativt E(Z) och V (Z) uttryckt i moment
av X och Y .
ÖVNING 3.93
Antag att en befolknings vuxna män har normalfördelad längd med väntevärde
180 cm och standardavvikelse 5 cm, och befolkningens vuxna
kvinnor också har normalfördelad längd, men med väntevärde 168 cm och
standardavvikelse 5 cm. En vuxen person väljs på måfå ur befolkningen
(som har lika många män och kvinnor). Låt Y beteckna personens längd.
Y sägs då ha en blandad normalfördelning. Bestäm väntevärde, varians
och standardavvikelse för Y . (L)
ÖVNING 3.94
Visa med hjälp av Sats 3.34 på sidan 151 att felfortplantningsformlerna
gäller med likhet för linjära funktioner g(x) = ax + b och h(x1, . . . , xn) =
a1x1 + . . . + anxn.
3.12 Stora talens lag
Vi ska nu gå igenom ett av de viktigaste resultaten inom sannolikhetsteorin,
”Stora talens lag”. Vi har redan nämnt detta resultat vid ett par tillfällen, och
det utgör också en grundsten för den s.k. frekvenstolkningen av begreppet
sannolikhet, se Avsnitt 2.3. Denna tolkning gick ut på att om man upprepar
ett försök många gånger så bör den relativa andelen av försöken som resulterar
i händelsen A ligga nära sannolikheten för A, P (A). Vi visar resultatet
mer allmänt för medelvärden av slumpvariabler som inte behöver ha samma
fördelning utan bara samma väntevärde och standardavvikelse.
SATS 3.37 (STORA TALENS LAG)
Låt X1, X2, . . . vara en följd av oberoende slumpvariabler, alla med samma
väntevärde E(Xi) = µ och standardavvikelse D(Xi) = σ < ∞.