STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

ÖVNING 3.87
2007-10-08 – sida 157 – # 161
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 157
Härled formlerna för sannolikhetsfunktion respektive täthetsfunktion för
Y = g(X) för fallet att g(x) är strikt avtagande. Fallet med g(x) växande
gjordes efter Sats 3.31 på sidan 139.
ÖVNING 3.88
Antag att ett flygplan har två motorer som går sönder oberoende av
varandra och med samma fördelning Exp(1) (vi tänker oss att tidsenheten
är just ”förväntad livslängd”). Flygplanet havererar först när bägge motorerna
är utslagna. Låt T beskriva denna tid. Jämför T med tiden S tills
att ett plan med endast en motor, fast med dubbel genomsnittlig livslängd
och fortfarande exponentialfördelning, havererar.
a) Bestäm FT (t) respektive FS(t).
b) Visa att det enmotoriga flygplanet har större risk att haverera för små t
(dvs. för rimliga flygtider för relativt säkra plan).
ÖVNING 3.89
En teknisk mätinstrument går sönder varje enskild mätning med sannolikheten
p. Innan mätinstrumentet gått sönder görs oberoende mätningar av
antalet passerade elektroner, och varje sådan mätning är Poissonfördelad
med väntevärde λ. Låt X ange totalt antalet elektroner som passerat innan
apparaten gått sönder, och Y anger hur många mätningar som gjordes.
a) Bestäm fördelningen för Y .
b) Bestäm E(X) och V (X). (L)
ÖVNING 3.90
Låt X ∼ Po(λ). Bestäm den sannolikhetsgenererande funktionen ρX(s) =
E(s X ).
ÖVNING 3.91
Låt Y ∼ Exp(β). Bestäm den momentgenererande funktion φY (t) =
E(e tY ).