STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

156 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 156 – # 160
standardavvikelse 2g. Bestäm funktionen f(x) för vilket Y = f(X). Bestäm
även P (Y = 0), P (1 < Y < 2) och FY (2).
ÖVNING 3.82
Låt X ∼ Exp(λ), dvs. X är exponentialfördelad med täthetsfunktion
fX(x) = λe −λx , x ≥ 0. Bestäm täthet och fördelningsfunktionen för
Y = X 2 samt beräkna E(Y ).
ÖVNING 3.83
Låt X ∼ Re[0, 10], dvs. X har täthetsfunktion fX(x) = 1/10, 0 < x < 10
(och fX(x) = 0 annars). Bestäm X:s tredje och fjärde moment E(X 3 )
och E(X 4 ).
ÖVNING 3.84
Antag som i Exempel 3.53 på sidan 153 att Y ∼ Po(λ) och att X | Y =
k ∼ Bin(k, p). Visa att X ∼ Po(λp). (L)
ÖVNING 3.85
Låt X vara en diskret slumpvariabel med sannolikhetsfunktion pX(j). Definiera
Y som Y = aX + b där vi kan anta att a och b är heltal så att även
Y blir heltalsvärd.
a) Bestäm pX,Y (j, k).
b) Beräkna C(X, Y ).
c) Beräkna ρ(X, Y ).
ÖVNING 3.86
Antag att X1, X2, . . . är oberoende och likafördelade slumpvariabler, med
E(Xi) = 10 och D(X) = 2. Låt ¯Xn = n i=1 Xi/n.
a) Beräkna E( ¯X1), E( ¯X10) och E( ¯X100).
b) Beräkna D( ¯X1), D( ¯X10) och D( ¯X100).
c) Vad måste n minst vara för att D( ¯Xn) ≤ 0.1?