STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 12 – # 16
12 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
BEVIS
Antag att det finns n utfall u1, . . . , un i utfallsrummet. Från Kolmogorovs
sannolikhetsaxiom (Definition 2.2 på sidan 6) gäller att P (Ω) = 1, och
från generaliseringen av Kolmogorovs tredje axiom (Övning 2.12) gäller
P (Ω) = n
i=1 P (ui). Eftersom alla P (ui) är identiska vid likformig sannolikhetsfördelning
måste således P (ui) = 1/n. Om en händelse A innehål-
ler k utfall blir således P (A) =
i;ui∈A P (ui) =
i;ui∈A n−1 = k/n, dvs
antalet gynnsamma dividerat med antal utfall i utfallsrummet.
EXEMPEL 2.6 (Slantsingling)
Ett symmetriskt mynt singlas 3 gånger. De tre slantsinglingarna kan ge
8 olika resultat: Ω = {(kl, kl, kl), (kl, kl, kr), (kl, kr, kl), (kl, kr, kr),
(kr, kl, kl), (kr, kl, kr), (kr, kr, kl), (kr, kr, kr)}. Eftersom sannolikheten
för krona är lika med sannolikheten för klave (= 1/2) vid varje enskilt
kast har de 8 utfallen samma sannolikhet, vilken alltså måste vara
1/8. Sannolikheten att det blir 2 klave kan man beräkna genom att se
hur många av utfallen som ger två klave, vilket är 3 stycken: (kl, kl, kr),
(kl, kr, kl) och (kr, kl, kl). Således blir sannolikheten för att få två klave
3/8.
Tolkningen av påståendet ovan att ”sannolikheten att få två klave på
tre slantsinglingar är 3/8” är nog uppenbar för de flesta. Nämligen att om
man utför tre slantsinglingar många gånger, så bör andelen av dessa trippla
slantsinglingar som gav upphov till just två klave vara ungefär 3/8. Detta
är den s.k.frekvenstolkningen av sannolikheter. Frekvenstolkningen är också
tillämpbar i många mer praktiska fall. Ett försäkringsbolag som bedömer att
risken för att ett fritidshus brinner kommande år är 0.003 tolkar detta som att
om försäkringsbolaget tecknar 1000 försäkringskontrakt med liknande fritidshus
bör i genomsnitt 3 av dessa brinna det kommande året.
I andra sammanhang är det inte lika självklart hur man skall tolka uttalande
om sannolikheter. Den vanligast förekommande tolkningen är nog den
frekventistiska. För att ett sannolikhetspåstående skall kunna tolkas frekventistisk
skall det vara så att, om ett slumpexperiment upprepas oberoende allt
fler gånger, så kommer den relativa frekvensen för att händelsen inträffar att
stabilisera sig vid sannolikheten för händelsen. Sannolikheten att få en sexa
vid tärningskast är 1/6 just för att, om man gör många tärningskast så kom-