STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

154 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 154 – # 158
att försöken sker oberoende av varandra. Om vi låter Y beteckna antalet
försök som görs och X antalet lyckade försök så gäller att X | Y = y ∼
Bin(y, p). Från detta drar vi slutsatsen att E(X | Y = y) = yp och V (X |
Y = y) = yp(1−p). Således får vi E(X) = E(E(X | Y )) = E(Y p) = λp.
För variansen får vi
V (X) = E(V (X | Y )) + V (E(X | Y ) = E(Y p(1 − p)) + V (Y p)
= λp(1 − p) + p 2 λ = λp,
eftersom Y ∼ Po(λ) har varians λ så V (Y p) = p 2 λ. I själva verket gäller
ett starkare resultat, nämligen att X ∼ Po(λp vilket överlåts till läsaren att
visa (Övning 3.84
3.11.4 Felfortplantningsformlerna
Som nog har framgått tidigare i innevarande avsnitt är det inte alltid så lätt
att bestämma fördelningen för en funktion g(X) av en slumpvariabel X med
känd fördelning. Även att endast bestämma E(g(X)) och V (g(X)) kan vara
svårt. Ibland kanske man dessutom inte ens känner fördelningen för den
ursprungliga slumpvariabeln X och då har vi ingen möjlighet att bestämma
exakt väntevärde och varians. Vi ska i det här avsnittet redogöra för hur man
beräknar approximativa moment av funktioner av slumpvariabler, en metod
som ofta kan vara mycket användbar. Av denna anledning har metoden flera
olika benämningar, bl.a. Gauss approximationsformel och på engelska kallas
metoden ofta för ”the δ-method”. Den kanske vanligaste benämningen är
felfortplantingsformlerna.
Approximation baseras på att vi Taylorutvecklar funktionen runt väntevärdet
µ = E(X). Från andra ordningens approximation får vi då
g(x) ≈ g(µ) + (x − µ)g ′ (µ).
Från denna approximation får vi E(g(X)) ≈ E (g(µ) + g ′ (µ)(X − µ)) =
g(µ) respektive V (g(X)) ≈ V (g(µ) + (x − µ)g ′ (µ)) = [g ′ (µ)] 2V (X), där vi
använt oss av räkneregler i Sats 3.34 på sidan 151.
Om vi har en funktion av flera slumpvariabler h(x1, . . . , xn) kan vi på motsvarande
sätt härleda en approximativ formel för väntevärde och varians genom
Taylorutveckling runt väntevärdespunkten (µ1, . . . , µn) där µi = E(Xi).
Det gäller nämligen att
n
h(x1, . . . , xn) ≈ h(µ1, . . . , µn) + (xi − µi)h (i) (µ1, . . . , µn),
i=1