STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 153 – # 157
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 153
vilket betyder att h(k) = V (X | Y = k). Låt oss nu beräkna V (g(Y )) +
E(h(Y )) = V (E(X | Y )) + E(V (X | Y )). Vi tar termerna var för sig
V (g(Y )) = E(h 2 (Y )) − (E(h(Y )) 2
= E [E(X | Y )] 2 − (E(E(X | Y ))) 2 ,
E(h(Y )) = E(E(X 2 | Y )) − E [E(X | Y )] 2 .
Från detta får vi således att V (g(Y )) + E(h(Y )) = E(E(X 2 | Y )) −
(E(E(X | Y ))) 2 . Vi har ovan visat att den andra termen är detsamma som
(E(X)) 2 . Den första termen blir
E(E(X 2 | Y )) = 2
E(X | Y = k pY (k)
k
=
j 2
pX|Y (j | k) pY (k)
k
k
j
j
=
j 2 pX,Y (j, k)
pY (k) pY (k) = E(X 2 ).
Detta medför att V (E(X | Y )) + E(V (X | Y )) = V (X). Vi sammanfattar
våra resultat i följande sats.
SATS 3.36
Låt (X, Y ) vara en tvådimensionell slumpvariabel med ändliga varianser.
Då gäller att
E(X) = E(E(X|Y )),
V (X) = E(V (X | Y )) + V ar(E(X | Y )).
ANMÄRKNING 3.44
För den ovane kan det vara något oklart vilket slumpvariabel som man ska
beräkna väntevärde respektive varians med avseende på i uttrycket ovan.
Vill man förtydliga detta kan man skriva Ey(Ex(X|Y )), Ey(V arx(X |
Y )), och V ary(Ex(X | Y ).
EXEMPEL 3.53
Antag att ett slumpförsök upprepas ett Poisson-fördelat (Po(λ)) antal
gånger, och att vart och ett av försöken ”lyckas” med sannolikhet p, samt