STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

152 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
BEVIS
2007-10-08 – sida 152 – # 156
Vi ger endast en skiss av beviset för det diskreta fallet. Den viktiga insikten
är att det för en konvex funktion följer från definitionen att olikheten även
gäller för fler ”viktade punkter” dvs. f(
k kpX(k)) ≤
k pX(k)f(k).
Men detta är just detsamma som Jensens olikhet påstår!
EXEMPEL 3.52
Det gäller att f(x) = x 2 och g(x) = e x bägge är konvexa funktioner. Från
Jensens olikhet kan vi således dra slutsatsen att E(X 2 ) ≥ (E(X)) 2 och att
E(e X ) ≥ e E(X) . Den första olikheten är detsamma som att V (X) ≥ 0.
Vi avslutar detta avsnitt med att härleda två räkneregler för väntevärden
och varianser, som kan vara användbara då dessa är svåra att beräkna, men där
man lättare kan beräkna dessa moment om man får betinga på någon annan
variabel. Låt för detta ändamål (X, Y ) vara en två-dimensionell slumpvariabel.
Betrakta nu funktionen g(k) := E(X | Y = k) som ju enligt definitionen
av betingade väntevärden ges av
g(k) = E(X | Y = k) =
jpX|Y (j | k) =
j pX,Y (j, k)
.
pY (k)
k
j
Om vi nu vill beräkna väntevärdet av denna funktion när vi betraktar Y som
slumpvariabel får vi således
E(g(Y )) =
g(k)pY (k) =
j pX,Y (j, k)
pY (k) pY (k)
j,k
=
jpX(j) = E(X).
j
Ofta skrivs denna relation på formen E(X) = E(E(X | Y )) eftersom g(Y ) =
E(X | Y ).
Vi ska nu härleda en liknande formel för variansen. Inför
h(k) = E(X 2 | Y = k) − (E(X | Y = k)) 2
=
j 2
pX|Y (j | k) − jpX|Y (j | k)
j
j
j
2
,