STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

SATS 3.34
2007-10-08 – sida 151 – # 155
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 151
Om φX(t) är momentgenererande funktion till en slumpvariabel X och
φX(t) är definierad i ett intervall som täcker in t = 0 så gäller φ (k)
X (0) =
E(X k ), där φ (k)
X (0) är k:te derivatan av φX(t) evaluerad i t = 0.
ANMÄRKNING 3.43
Man kan visa flera andra resultat för de olika transformerna. Huvudidén
är att, under olika regularitetsvillkor, så definierar transformen fördelningen.
Detta kan vara användbart om fördelningen är krånglig medan
lämplig transform är mer hanterlig.
Vi visar nu en olikhet som kan vara användbar när man vill göra uppskattningar
av sådant man kanske inte beräkna exakt. Låt f(x) vara en konvex
funktion. För den som inte minns är f konvex om det för alla x och y samt
för 0 < α < 1 gäller att f(αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y) vilket
illustrerar i Figur 3.30.
Bild saknas
Figur 3.30. Bild på en konvex funktion f(x) och den räta linjen
f(αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y) mellan två godtyckliga punkter x och y.
För funktioner med andraderivata gäller att f(x) är konvex om och endast
om f ′′ (x) ≥ 0 för alla x.
SATS 3.35 (JENSENS OLIKHET)
Låt X vara en slumpvariabel med ändligt väntevärde och f(x) en konvex
funktion. Då gäller att
f(E(X)) ≤ E(f(X)).