STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

150 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
EXEMPEL 3.50
2007-10-08 – sida 150 – # 154
Låt X vara geometriskt fördelad, dvs. pX(k) = q k p, k = 0, 1, 2, . . .. Dess
sannolikhetsgenererande funktion ges då av
ρX(s) = E(s X ∞
) = s k q k ∞
p = p (qs) k =
för −1 < s < 1.
EXEMPEL 3.51
k=0
k=0
p
1 − qs ,
Antag att Y ∼ N(µ, σ 2 ). Då är dess momentgenererande funktion
∞
e
−∞
ty
φY (t) = E(e tY 1
) =
σ √ 2π
∞
1
=
σ √ 2π e− (y−(µ+σ2t)) 2
2σ2 −∞
= e tµ+σ2 t 2
.
e− (y−µ)2
2σ 2 dy
+tµ+σ 2 t 2
dy
Den näst sista likheten erhålls med kvadratkomplettering och den sista följer
av att etµ+σ2t2 kan brytas ut ur integralen och att det som då återstår är
en normalfördelningstäthet (med väntevärde µ+σ2t och standardavvikelse
σ) som därmed integrerar sig till 1.
Den momentgenererande funktionen har fått sitt namn eftersom man kan
erhålla slumpvariabelns samtliga moment från den på följande sätt. Antag
t.ex.
att X är kontinuerlig. Momentgenererande funktionen blir då φX(t) =
etxfX(x)dx. Om vi deriverar φX(t) med avseende på t och dessutom antar
att vi får byta ordning på integration och derivering så får vi φ ′
X (t) =
xetxfX(x)dx. Om vi speciellt tittar på fallet t = 0 får vi φ ′
X (0) =
xfX(x)dx = E(X). Vi kan alltså erhålla slumpvariabelns väntevärde genom
att derivera den momentgenererande funktionen en gång. Om vi i stället
deriverar momentgenererande funktionen k gånger (skrivs φ (k)
X (·)) och observerar
derivatan i nollan får vi slumpvariabelns k:te moment: φ (k)
X (0) =
E(X k ) vilket förklarar varför funktionen kalas momentgenererande funktionen.
Byta ordning på derivering och integration (alternativt summation) får
man göra om momentgenererande funktionen existerar i något intervall kring
t = 0. Vi har således skissat beviset för följande resultat.