STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 149 – # 153
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 149
ANMÄRKNING 3.40
En standardiserad slumpvariabel har således alltid väntevärde 0 och
standardavvikelse 1.
Man kan även välja funktioner med egna parametrar. Detta kan ibland
vara användbart om man vill studera en slumpvariabel som kanske har en
svårtillgänglig fördelningsfunktion. Vi definierar nu några sådana.
DEFINITION 3.39 (SANNOLIKHETSGENERERANDE, MOMENTGENERERANDE OCH
KARAKTERISTISK FUNKTION)
Låt X vara en slumpvariabel. Dess sannolikhetsgenererande funktion
ρX(s) definieras som
ρX(s) = E(s X )
för sådana s där väntevärdet är definierat. Dess momentgenererande funktion
φX(t) definieras som
φX(t) = E(e tX )
för sådana t där väntevärdet är definierat. Slutligen definieras den karakteristiska
funktionen ψX(t) av
ψX(t) = E(e itX )
där i = √ −1 är det imaginära talet.
ANMÄRKNING 3.41
Sannolikhetsgenererande funktioner används oftast för positiva slumpvariabler.
Den momentgenererande funktionen existerar inte alltid, men den
är i alla fall väldefinierad för alla negativa t för positiva slumpvariabler
(och för alla positiva t för negativa slumpvariabler). Fördelen med den
karakteristiska funktionen är att den alltid existerar eftersom |e itx | ≤ 1
för alla reella tal t och x. Eftersom vi inte förutsätter kunskaper om de
imaginära talen kommer vi dock inte använda denna funktion ytterligare.
ANMÄRKNING 3.42
Dessa funktioner är s.k. transformer av fördelningarna. Inom matematiken
finns även andra transformer som t.ex. Fouriertransformen och Laplacetransformen.