STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

148 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 148 – # 152
Vad gäller variansen blir den V (10Y −15) = 100V (Y ) = 100(1−p)/p 2 =
200 och standardavvikelsen blir således √ 200 ≈ 14.1. Slutsatsen är alltså
att spelet i genomsnitt ger förlust, men eftersom standardavvikelsen är
relativt stor finns det icke-försumbar chans att gå med vinst.
Ett viktigt specialfall av Sats 3.33 är när slumpvariablerna är oberoende och
lika fördelade, eller åtminstone har samma väntevärde och varians, och då
man betraktar summan av variablerna eller variablernas medelvärde.
FÖLJDSATS 3.2
Låt X1, . . . Xn vara oberoende, alla med samma väntevärde E(Xi) = µ och
standardavvikelse D(Xi) = σ. Låt ¯X = n i=1 Xi/n beteckna medelvärdet
av slumpvariablerna. Då gäller
n
E
= nµ
n
V
= nσ 2
n
D
= √ nσ
BEVIS
i=1
Xi
i=1
Xi
E( ¯X) = µ V ( ¯X) = σ2
n
i=1
Xi
D( ¯X) = σ √ n .
Resultatet följer direkt från Sats 3.33 genom att välja ai = 1 respektive
ai = 1/n.
Låt X ha väntevärde µ och standardavvikelse σ. Från Sats 3.33 inser
man då att man genom att dra ifrån väntevärdet och dividera med standardavvikelsen,
dvs. transformerar till (X − µ)/σ, får en slumpvariabel med väntevärde
0 och standardavvikelse 1. Denna transformation är vanligt förekommande,
bl.a. för normalfördelningen, varför den har fått ett eget namn.
DEFINITION 3.38 (STANDARDISERAD SLUMPVARIABEL)
Låt Y vara en slumpvariabel med väntevärde µ = E(Y ) och standardavvikelse
σ = D(Y ). Då är Z = (X − µ)/σ motsvarande standardiserade
slumpvariabel.