STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

SATS 3.33
2007-10-08 – sida 147 – # 151
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 147
Låt X och Y , respektive X1, . . . Xn vara slumpvariabler och a, b, c, respektive
a1, . . . , an vara godtyckliga konstanter. Då gäller
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c,
V (aX + bY + c) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abC(X, Y ),
E(a1X1 + . . . anXn) = a1E(X1) + . . . + anE(Xn),
n
V (a1X1 + . . . anXn) = a 2
kV (Xk) + 2
aiajC(Xi, Xj).
k=1
Motsvarande formel för linjär transformation av en slumpvariabel fås genom
att sätta b = 0 i formeln ovan.
EXEMPEL 3.48 (Väntevärde och varians för negativ binomialfördelning)
I Avsnitt 3.7.8 definierades en negativ binomialfördelad slumpvariabel X
som antalet försök som krävs för att uppnå r lyckade, där försöken lyckas
oberoende med sannolikhet p. Om vi låter Z1 vara antal försök som krävs
till det första lyckade, Z2 antal försök därefter som behövs tills det andra
lyckade försöket, och så vidare upp till Zr, så gäller att X = Z1 +. . .+Zr.
Vidare är Z1, . . . , Zr oberoende (de har inga försök gemensamt) och de
är alla ffg eftersom de räknar antal försök till nästa lyckade. Från Sats
3.17 på sidan 96 vet vi således att E(Zi) = 1/p och V (Zi) = q/p 2 . Från
Sats 3.33 med ai = . . . = an = 1 gäller således att E(X) = r/p och
V (X) = nq/p 2 , och därför att D(X) = √ nq/p.
EXEMPEL 3.49
Två personer betraktar följande spel. Person A singlar en slant tills dess
att han får en klave. Person A vinner 10 kr per kastad ”krona” som
föregår första klaven. Spelet kostar 15 kr att delta i. Låt Y vara antal
”krona” som föregår första klaven. Då är Y ∼ Geo(p = 1/2). Person
A:s nettoresultat Z blir Z = 10Y − 15. Detta resultat har väntevärde
E(10Y − 15) = 10E(Y ) − 15. Från tidigare vet vi att en geometriskt fördelad
slumpvariabel gäller E(Y ) = (1 − p)/p = 1 varför väntevärdet blir
E(Z) = 10 − 15 = −5, ett negativt förväntat netto som i de flesta spel ...
i