STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

146 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 146 – # 150
Vi gör nu motsvarande variansberäkningar. Vi börjar alltså med V (aX +
b). Vi beräknar först E((aX + b) 2 ):
E((aX + b) 2 ) =
(ak + b) 2 pX(k) =
(a 2 k 2 + 2abk + b 2 )pX(k)
Variansen blir därför
k
= a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 .
a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 − (aE(X) + b) 2 = a 2 V (X).
För linjärkombinationen aX + bY + c får vi
E((aX + bY + c) 2 ) =
(aj + bk + c) 2 pX,Y (j, k)
j,k
=
(a 2 j 2 + b 2 k 2 + c 2 + 2abjk + 2acj + 2bck)pX,Y (j, k)
j,k
= a 2 E(X 2 ) + b 2 E(Y 2 ) + c 2
+ 2abE(XY ) + 2acE(X) + 2bcE(Y ).
Från tidigare vet vi att E(aX +bY +c) = aE(X)+bE(Y )+c, så dess kvadrat
blir
(E(aX + bY + c)) 2 = a 2 (E(X)) 2 + b 2 (E(Y )) 2 + c 2
k
+ 2abE(X)E(Y ) + 2acE(X) + 2bcE(Y ).
Om vi tar differensen av dessa två uttryck får vi således variansen
V (aX + bY + c) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abC(X, Y ).
Även här kan man lätt generalisera till flera variabler. Man får då
V (a1X1 + . . . anXn) =
n
k=1
a 2
kV (Xk) + 2
aiajC(Xi, Xj).
I fallet att variablerna är parvis oberoende försvinner kovarianstermerna. Vi
sammanfattar våra resultat i följande sats.
i