STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 145 – # 149
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 145
eller motsvarande integral. Samma formel kan även användas för variansen:
V (Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y )) 2 = E(g 2 (X)) − (E(g(X))) 2 ,
där E(g 2 (X)) =
k g2 (k)pX(k). Ibland är man intresserad av högre potenser
och har för detta ändamål infört begreppet moment som vi nu definierar.
DEFINITION 3.37 (MOMENT AV EN SLUMPVARIABEL)
Låt X vara en slumpvariabel. Slumpvariabelns k:te moment definieras då
som E(X k ). Mer noggrant är detta k:te nollpunktsmomentet och E((X −
µ) k ), där µ = E(X) är väntevärdet, kallas för det k : te centralmomentet.
Vi ska nu studera ett antal olika val av funktioner för att på så sätt härleda
ett antal användbara resultat. I räkningarna antar vi att våra slumpvariabler
är diskreta, men exakt samma teknik kan användas för att visa att resultaten
även gäller kontinuerliga slumpvariabler. Vi börjar med linjärtransformation,
g(X) = aX + b för några konstanter a och b. Vi får direkt att
E(aX + b) =
(ak + b)pX(k) = a
kpX(k) + b
pX(k)
k
= aE(X) + b,
vilket visas lika lätt för det kontinuerliga fallet. Om vi betraktar två slumpvariabler
(X, Y ) och betraktar en linjärkombination av dessa, plus en konstant,
får vi på motsvarande sätt
E(aX + bY + c) =
(aj + bk + c)pX,Y (j, k)
j,k
= a
jpX(j) + b
kpY (k) + c
j
= aE(X) + bE(Y ) + c,
där andra likheten baseras på att marginalfördelningarna pX(j) =
k pX,Y (j, k) och pY (k) =
j pX,Y (j, k). Sambandet E(aX + bY + c) =
aE(X) + bE(Y ) + c brukar uttryckas som att väntevärdet är en linjär operator.
Med hjälp av induktion kan man lätt visa att motsvarande samband
gäller för en linjärkombination av godtyckligt många slumpvariabler,
E(a1X1 + . . . anXn) = a1E(X1) + . . . + anE(Xn). (3.6)
Notera att vi inte gör några förutsättningar om oberoende.
k
k
k