STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

144 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
BEVIS
2007-10-08 – sida 144 – # 148
Resultaten följer direkt från antagandena om oberoende och definitionen
av fördelningsfunktion:
FU (u) = P (min(X, Y ) ≤ u) = 1 − P (min(X, Y ) > u)
= 1 − P (X > u, Y > u) = 1 − (1 − FX(u))(1 − FY (u))
FV (v) = P (max(X, Y ) ≤ v) = P (X ≤ v, Y ≤ v) = FX(v)FY (v).
Beviset för flera likafördelade slumpvariabler är helt analogt.
EXEMPEL 3.47
En motor upphör först att fungera helt när dess samtliga 4 tändstift gått
sönder. Antag vidare att cylindrarnas livslängd är oberoende och likafördelade
Exp(λ = 1/7) vilket alltså betyder att cylindrarna i genomsnitt håller
i sju år. Om vi beräknar tiden T tills motorn upphör att fungera helt blir
detta således T = max(X1, X2, X3, X4), där Xi är de enskilda livslängderna.
Fördelningsfunktionen för de enskilda tändstiften blir då FX(x) =
1 − e−x/7 . Vi får således FT (t) = F 4
X (t) = (1 − e−t/7 ) 4 . Om vi i stället är
intresserad av tiden S då motorns funktion blir nedsatt pga att något tändstift
inte fungerar så kan S skrivas som S = min(X1, X2, X3, X4). Fördelningsfunktion
blir FS(s) = 1 − (1 − FX(s)) 4 = 1 − (e−s/7 ) 4 = 1 − e−(4/7)s vilket alltså betyder att det minsta av ett antal oberoende och likafördelade
exponentialfördelade slumpvariabler också är exponentialfördelad, fast
med en parameter som är den ursprungliga multiplicerat antalet slumpvariabler.
3.11.3 Väntevärden och högre moment
Om vi t.ex. vill beräkna väntevärde och varians för den transformerade variabeln
Y = g(X) kan detta göras genom att först beräkna sannolikhetsfunktionen/täthetsfunktionen
för Y och därefter beräkna väntevärdet enligt definition:
E(Y ) = kpY (k) eller motsvarande integral. Ett betydligt snabbare
sätt är emellertid att använda Sats 3.4 på sidan 59. Där visades det att E(Y )
även kan beräknas genom följande ekvation
E(Y ) = E(g(X)) =
g(k)pX(k),
k