STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

EXEMPEL 3.46
2007-10-08 – sida 143 – # 147
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 143
Låt X ∼ Po(5) och Y ∼ Po(3) vara oberoende Poissonfördelade slumpvariabler
(se Avsnitt 3.7.7). Vi år då att Z = X +Y har sannolikhetsfunktion
∞
z
pZ(z) = pX(j)pY (z − j) = pX(j)pY (z − j)
=
j=−∞
z 5je−5 j=0
j!
j=0
3z−je−3 (z − j)! = 8ze−8 z!
z
j=0
z
j
5
8
j z−j 3
8
= 8ze−8 .
z!
Om vi hade ersatt 5 med ett godtyckligt a och 3 med ett godtyckligt b hade
vi erhållit a + b i stället för ”8” ovan. Detta betyder alltså att om man har
två oberoende Poissonfördelade slumpvariabler så är deras summa också
Poissonfördelad med en parameter som är summan av de enskildas parametrar.
Om man vill härleda fördelningen för det största eller minsta av två slumpvariabler
kan detta göras relativt enkelt. Vi behandlar endast fallet att variablerna
är oberoende. Sätt U = min(X, Y ) och V = max(X, Y ). Vi kan nu
härleda fördelningsfunktionerna för U och V genom att observera att U > u
om och endast om X > u och Y > u. På motsvarande sätt gäller att V ≤ v
om och endast om X ≤ v och Y ≤ v. Av detta kan man lätt härleda fördelningsfunktionerna
för U och V .
SATS 3.32
Låt X och Y vara oberoende slumpvariabler med fördelningsfunktioner
FX(x) respektive FY (y), och definiera U = min(X, Y ) och V =
max(X, Y ). Då gäller att
FU (u) = 1 − (1 − FX(u))(1 − FY (u))
FV (v) = FX(v)FY (v).
Om X1, . . . , Xn är oberoende och likafördelade med fördelningsfunktion
FX(x) har Y = min(X1, . . . , Xn) och Z = max(X1, . . . , Xn) fördelningsfunktionerna
FY (y) = 1 − (1 − FX(y)) n
FZ(Z) = (FX(z)) n .