STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

142 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 142 – # 146
De s.k. faltningsformlerna blir ofta enklare att använda i fallet att X och Y är
oberoende. Man har då
pZ(z) =
pX(j)pY (z − j), respektive
fZ(z) =
EXEMPEL 3.45
j
∞
fX(x)fY (z − x)dx.
−∞
Vi ska i detta exempel bevisa att Sats 3.13 på sidan 83 verkligen är
sann med hjälp av faltningsformlerna. Låt alltså X ∼ Bin(n1, p) och
Y ∼ Bin(n2, p) vara oberoende binomialfördelade slumpvariabler med
samma p och definiera Z = X + Y som summan av de två slumpvariablerna.
Vi ska nu bestämma pZ(z). För att summan skall vara lika med z så
måste X ligga mellan det största av 0 och z − n2 (eftersom Y högst kan
vara n2 och summan ska vara z) och det minsta av n1 och z. Vi har således
P (Z = k) = P (X + Y = k) =
=
=
min(n1,z)
j=max(0,z−n2)
min(n1,z)
j=max(0,z−n2)
= p k (1 − p) n1+n2−k
min(n1,z)
j=max(0,z−n2)
P (X = j)P (Y = k − j)
P (X = j, Y = k − j)
n1
p
j
j (1 − p) j
n2
p
k − j
k−j (1 − p) n2−(k−j)
min(n1,z)
j=max(0,z−n2)
n1 + n2
= p
k
k (1 − p) n1+n2−k
.
n1 n2
j k − j
Den sista likheten är en välkänd kombinatorisk likhet. Vi hoppar därför
över beviset av den. Intuitivt säger den att, för att välja k bland n1 + n2
måste vi välja j bland de n1 första och resten (k − j) bland de n2 övriga,
för något j. Slutsatsen är alltså att Z = X + Y ∼ Bin(n1 + n2, p), vilket
var just vad satsen påstod.