STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 141 – # 145
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 141
behandlades i Avsnitt 3.8.1 på sidan 100. Genom att transformera en exponentialfördelad
slumpvariabel har vi således erhållit en likformigt fördelad
slumpvariabel. Att genom transformationer erhålla “nya” slumpvariabler
är en mycket användbar teknik inom simulering vilket vi diskuterar
vidare i Kapitel ??.
Vi avslutar med ett tips till läsaren: När man vill studera egenskaper
hos transformerade slumpvariabler är det bäst att under räkningarnas
gång använda sig av fördelningsfunktionen snarare än sannolikhetsfunktion-
/täthetsfunktion. Övergå till de senare först på slutet.
3.11.2 Funktioner av flera slumpvariabler
Ibland är man intresserad av funktioner av flera slumpvariabler. Vanligaste
exemplen är summor, men också t.ex. maximum och minimum vill man
ibland känna fördelningen för. Om vi t.ex. har två oberoende slumpvariabler
X och Y kan man vara intresserad av fördelningen för summan Z = X + Y .
Vi börjar allmänt och låter (X, Y ) vara en tvådimensionell slumpvariabel
och inför Z = g(X, Y ) för någon funktion g(x, y). Fördelningsfunktionen
för Z ges då av
FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (g(X, Y ) ≤ z)
(j,k); g(j,k)≤z
=
pX,Y (j, k)
(x,y); g(x,y)≤z fX,Y (x, y)dxdy.
Så mycket mer exakta resultat kan man inte säga en godtycklig funktion
g(x, y) (se dock Avsnitt 3.11.4 för approximativa resultat). Om vi är intresserade
av summan g(x, y) = x + y kan vi däremot komma lite längre. Om man
studerar summan av två slumpvariabler säger man att man faltar deras fördelningar.
Om X och Y är diskreta gäller nämligen att sannolikhetsfunktionen
för Z = X + Y ges av
pZ(z) = P (Z = z) = P (X + Y = z) =
pX,Y (j, k)
=
pX,Y (j, z − j),
j
(j,k); j+k=z
den sista likheten erhålls genom substitution av summationsindex. Man kan
på motsvarande sätt visa att för det kontinuerliga fallet gäller att
fZ(z) =
∞
fX,Y (x, z − x)dx.
−∞