STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

140 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 140 – # 144
den A ∈ Ω för vilket g(X(u)) ≤ y är således samma mängd som mängden
för vilket X(u) ≤ g −1 (y). Alltså har mängderna även samma sannolikheter:
P (g(X) ≤ y) = P (X ≤ g −1 (y)). Detta är i sin tur detsamma som
FX(g −1 (y)) vilket var satsens första påstående.
Om g(x) är avtagande gäller i stället g(x) ≤ y om och endast om x ≥
g −1 (y). Man får därför i stället FY (y) = P (X ≥ g −1 (y)). Om X är diskret
(heltalsvärd) blir detta detsamma som 1 − FX(g −1 (y) − 1) medan det blir
1 − FX(g −1 (y)) om X är kontinuerlig.
När man härlett fördelningsfunktionen kan man lätt få fram sannolikhetsfunktionen
respektive täthetsfunktionen. Vi visar endast resultatet för fallet
att g(x) är växande, och överlåter det avtagande fallet åt läsaren (Övning
3.87 på sidan 157). Det gäller att pY (k) = FY (k) − FY (k − 1) för det diskreta
fallet och fY (y) = d
dy FY (g −1 (y)) i det kontinuerliga fallet. För g(x)
växande gäller därför pY (k) = FX(g −1 (k)) − FX(g −1 (k − 1)), respektive
fY (y) = fX(g −1 (y))/g ′ (g −1 (y)). Det senare resultatet följer av att derivatan
av en invers funktion är inversen av derivatan av den ursprungliga funktionen,
tagit i motsvarande punkt, dvs d
dy g−1 (y) = 1/g ′ (g −1 (y)).
EXEMPEL 3.44
Låt X ∼ Exp(2), dvs. X har täthetsfunktion fX(x) = e−2x , x ≥ 0. Låt
vidare g(x) = 1 − e−2x vilket är en kontinuerlig strikt växande funktion.
Vi ska nu härleda fördelnings- och täthetsfunktionerna för Y = g(X) =
1 − e−2X .
Fördelningsfunktionen för X ges av FX(x) = x
0 2e−2tdt = 1 − e−2x .
Inversa funktionen till g(x) är g−1 (y) = − ln(1 − y)/2. Vi får således
följande fördelningsfunktion
FY (y) = FX(g −1 (y)) = FX(− ln(1−y)/2) = 1−e −2(− ln(1−y)/2) = y.
Eftersom X antar endast positiva värden så antar Y = 1 − e −2X värden i
intervallet (0, 1). Om vi vill beräkna täthetsfunktionen direkt, utan att gå
”via” fördelningsfunktionen, behöver vi g ′ (x) som blir 2e −2x , vilket ju är
detsamma som fX(x). Vi får således
fY (y) = fX(g −1 (y))
g ′ (g −1 (y))
= 1,
för 0 ≤ y ≤ 1 (och fY (y) = 0 i övrigt). Eftersom vi redan visat att
FY (y) = y, 0 ≤ y ≤ 1 får vi ju detta enklare genom att derivera detta.
Vi ser således att vi erhållit den likformiga U(0, 1)-fördelningen som