STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

ÖVNING 3.80
2007-10-08 – sida 139 – # 143
3.11 FUNKTIONER AV SLUMPVARIABLER 139
I beviset för Sats 3.28 på sidan 135 utelämnades ett par steg i manipulationen
av en viss integral. Utför dessa.
3.11 Funktioner av slumpvariabler
I det här avsnittet ska vi konstruera nya slumpvariabler från givna slumpvariabler
med hjälp av funktioner. Vi börjar med funktioner av en slumpvariabel.
3.11.1 Funktioner av en slumpvariabel
Antag att vi har en slumpvariabel X med fördelningsfunktion FX(x). Definiera
nu en ny slumpvariabel Y = g(X) där g(x) är en reell funktion. En naturlig
fråga är då vilken fördelningsfunktion Y har. I de allra flesta tillämpningarna
är g(x) en kontinuerlig och strikt växande eller strikt avtagande funktion och
för detta fall blir fördelningsfunktionen lättare att uttrycka. Vi inskränker oss
därför till detta fall nedan men tar senare upp några exempel då detta inte
gäller. Anledningen till att formlerna blir lättare om g(x) är monoton beror
på att g(x) då har en invers funktion g −1 (y). Den inversa funktionen g −1 (y)
definieras som
g −1 (y) = {x; g(x) = y},
dvs. det x för vilket g(x) = y. Den strikta monotoniciteten tillsammans med
kontinuiteten försäkrar om att det finns exakt ett sådant x. Vi har följande
resultat.
SATS 3.31
Låt X vara en slumpvariabel med fördelningsfunktion FX(x) och antag att
g(x) är en kontinuerlig strikt monoton funktion. Då gäller att Y = g(X)
har fördelningsfunktion FY (y) = FX(g −1 (y)) om g(x) är växande. Om
g(x) är avtagande gäller FY (y) = 1 − FX(g −1 (y)) om X är kontinuerlig
och FY (y) = 1 − FX(g −1 (y) − 1) om X är diskret.
BEVIS
Det gäller att FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y). Vidare gäller att om
g(x) är växande så är g(x) ≤ y om och endast om x ≤ g −1 (y). Så mäng-