STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

136 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 136 – # 140
Satsen ovan ger alltså förklaring av innebörden av fyra utav de fem parametrarna,
de är väntevärden och standardavvikelser för respektive slumpvariabel.
Eftersom den kvarvarande parametern har getts beteckningen σ kan man
kanske gissa att den just betecknar korrelationen ρ(X, Y ). Detta stämmer vilket
följande sats styrker. Beviset för satsen liknar beviset ovan men är mer
tekniskt och utelämnas därför.
SATS 3.29
Antag att (X, Y ) ∼ N(µx, µy, σx, σy, ρ). Då är ρ(X, Y ) = ρ, dvs. parametern
ρ är korrelationen mellan X och Y .
Vi går igenom ytterligare ett resultat för bivariat normalfördelning, nämligen
vad som händer med fördelningen för ena variabeln om vi observerar den
andra. Vi vill alltså härleda den betingade fördelningen för X betingat av att
Y = y. Vi söker därför fX|Y (x | y) som är en täthetsfunktion för X. Om
vi bakar ihop sådant som inte beror på x får vi från definitionen av betingad
täthetsfunktion (Definition 3.33 på sidan 127)
fX|Y (x | y) = fX,Y x, y)
fY (y)
= C1fX,Y (x, y)
1
= C2 exp −
2(1 − ρ2 − µx
[(x )
) σx
2
x(y − µy)
− 2ρ ]
σxσy
1
= C3 exp −
2σ 2 x(1 − ρ2 ) [x − (µx + ρ σx
(y − µy))]
σy
2
.
Som funktion av x har vi alltså att fX|Y (x | y) = C3e −(x−a)2 /2b 2
, där a =
µx + ρ σx
σy (y − µy)
och b = σx 1 − ρ2 . En sådan täthet känner vi ju igen som
den endimensionella normalfördelningstätheten. Vi behöver ju inte bry oss
om C3 eftersom denna måste göra så att vi får 1 om vi integrerar tätheten
över hela reella axeln. Vi har således visat följande sats.
SATS 3.30
Antag att (X, Y ) ∼ N(µx, µy, σx, σy, ρ). Då är den betingade fördelningen
för X givet att Y = y normalfördelad med väntevärde µx + ρ σx (y − µy)
σy
och standardavvikelse σx 1 − ρ2 , dvs.
X | Y = y ∼ N µx + ρ σx
(y − µy), σx 1 − ρ2 .
σy