STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 10 – # 14
10 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
ÖVNING 2.8
Bevisa resultat 2 i Sats 2.1 utifrån Kolmogorovs axiomsystem, de s.k.
sannolikhetsaxiomen.
ÖVNING 2.9 (Booles olikhet )
Bevisa Booles olikhet, dvs. att för två godtyckliga händelser A och B
gäller P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).
ÖVNING 2.10
Visa att den högra olikheten, P (A) ≤ 1, i Axiom 1 följer av den vänstra
olikheten, P (A) ≥ 0, och de övriga axiomen. (L)
ÖVNING 2.11 (Stjärnor )
Antag att ett slumpexperiment består i att centrera ett stjärnkikarsikte mot
en slumpvis vald stjärna. Låt An, n = 1, 2, . . ., beteckna händelsen att man
totalt i kikarsiktet ser exakt n stjärnor (eftersom kikarsiktet var centrerat
mot en stjärna ser vi åtminstone en stjärna, dvs A0 är inte aktuellt). Antag
att P (An) = c/n2 för någon konstant c.
a) Bestäm c. (L)
b) Beräkna sannolikheten för händelsen B = ”högst 3 stjärnor syns i kikarsiktet”.
c) Beräkna P (A c
1 ) och ange i ord vad händelsen innebär.
ÖVNING 2.12
Visa att om A1, . . . , An är disjunkta händelser så gäller att P ( n
i=1 Ai) =
n
i=1 P (Ai). (L)
ÖVNING 2.13
Härled ett uttryck för P (A ∪ B ∪ C) liknande det i Sats 2.1, sidan 8, för
P (A∪B). Härled även en allmän form för A1∪A2, · · ·∪An för n händelser
A1, . . . , An. (L)