STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 135 – # 139
3.10 NÅGRA VANLIGA FLERDIMENSIONELLA FÖRDELNINGAR 135
normalfördelningen vet vi dessutom att FX(x) = Φ( x−µx ), där Φ(·) är
σx
fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen. Vi får
därför att att eftersökt sannolikhet blir
6 − 5 − 5
Φ( ) − Φ(3
2 2 )
14 − 10 8 − 10
Φ( ) − Φ( ) .
3
3
Genom att använda Tabell 4 får att eftersökt sannolikhet blir 0.350.
Vad som inte är lika lätt att visa, men som gäller även för fallet att ρ =
0 är att de marginella fördelningarna för X respektive Y är ovan nämnda
normalfördelningar.
SATS 3.28
Antag att (X, Y ) ∼ N(µx, µy, σx, σy, ρ). Då gäller att de marginella fördelningarna
ges av X ∼ N(µx, σx) och Y ∼ N(µy, σy).
BEVIS
Det gäller att fX(x) = ∞
−∞ fX,Y (x, y)dy. Om vi gör substitutionen z =
(y − µy)/σy, låter C = 1/2πσxσy 1 − ρ2 , och bryter ut faktorer som inte
beror av z får vi
1
fX(x) = Cσy exp −
2(1 − ρ2 − µx
(x )
) σx
2
∞
1
× exp −
−∞ 2(1 − ρ2
z
)
2
x − µx
− 2ρ z dz.
σx
Om man kvadratkompletterar exponenten innanför integralen får vi
z 2 x − µx x − µx
− 2ρ z = (z − ρ ) 2 − ρ 2 x − µx
( ) 2 .
σx
σx
Om man bryter ut den sista termen (med faktorn framför) kan man genom
att lägga till lämplig konstant faktor få en endimensionell normaltäthet
innanför integralen som således integrerar sig till 1. Utförandet av dessa
manipulationer lämnas till läsaren (Övning 3.80). Kvar får man
fX(x) =
1
√ e
2πσx
−(x−µx) 2 /2σ2 x,
vilket just betyder att X ∼ N(µx, σx). Beviset för Y är av symmetriskäl
helt analogt.
σx