STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

134 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 134 – # 138
där den kvadratiska formen Qρ(u, v) definieras av
Qρ(u, v) = u 2 + v 2 − 2ρuv.
Man skriver att (X, Y ) ∼ N(µx, µy, σx, σy, ρ).
ANMÄRKNING 3.39
Att använda sig av täthetsfunktionen för att beräkna sannolikheten för att
(X, Y ) ∈ A numeriskt är relativt komplicerat, såvida inte A är en ”enkel”
mängd. Specialfallet att ρ = 0 är dock väsentligt lättare.
Täthetsfunktionen illustreras i Figur 3.28 nedan.
Bild saknas
Figur 3.28. Bild på 2-dimensionell normalfördelad täthetsfunktion.
Ett specialfall av denna komplicerade täthetsfunktion är när ρ = 0. Produkttermen
i den kvadratiska formen försvinner då och man kan skriva tätheten
som fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) där fX(x) och fY (y) bägge är täthetsfunktioner
för normalfördelning med väntevärde och standardavvikelse µx och σx
respektive µy och µy. Eftersom den simultana täthetsfunktionen kan skrivas
som en produkt av två marginella täthetsfunktioner gäller det alltså att X och
Y är oberoende i detta fall (Definition 3.32 på sidan 126).
EXEMPEL 3.43
Antag att (X, Y ) ∼ N(µx = 5, µy = 10, σx = 2, σy = 3, ρ = 0). Vi
kan då t.ex. beräkna P (3 ≤ X ≤ 6, 8 ≤ Y ≤ 14). Eftersom X och Y är
oberoende gäller att P (3 ≤ X ≤ 6, 8 ≤ Y ≤ 14) = P (3 ≤ X ≤ 6)P (8 ≤
Y ≤ 14) = (FX(6) − FX(3))(FY (14) − FY (8)). Från den endimensionella