STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 133 – # 137
3.10 NÅGRA VANLIGA FLERDIMENSIONELLA FÖRDELNINGAR 133
Sannolikhetsfunktionen blir således
j
n − k pi
pXi|Xj (j | k) =
1 −
j 1 − pj
pi
n−k−j ,
1 − pj
j = 0, . . . , n − k..
Mer allmänt kan man på analogt sätt visa att hela resterande vektorn
X1, . . . Xj−1, Xj+1, . . . Xr, betingat av att Xj = k är multinomialfördelad
med parametrar n − k och p1/(1 − pj), . . . , pj−1/(1 − pj), pj+1/(1 −
pj), . . . , pr/(1 − pj).
EXEMPEL 3.42
En stryktipsrad består av 13 matcher där man skall tippa 1, x eller 2,
beroende på om man tror att hemmalaget vinner, det blir oavgjort, eller
bortalaget vinner matchen. Statistiskt sett brukar hemmalagen vinna
ca 50% av matcherna, oavgjort blir det ca 30% av matcherna, medan
bortalaget vinner ca 20% av matcherna (gissade siffror). Under dessa
förutsättningar, och förutsatt att man inte har ytterligare information
om enskilda matcher, är antalet hemmavinster, oavgjorda och bortavinster
på en stryktipsrad, (Y1, Yx, Y2) då multinomialfördelade med parametrar
n = 13, p1 = 0.5, px = 0.3 och p2 = 0.2. T.ex. gäller då att
P (Y1 = 7, Yx = 4, Y2 = 2) = 13
7 4 2 0.570.340.22 ≈ 0.065. Det gäller
även att E(Y1) = 13 · 0.5 = 6.5, D(Yx) = √ 13 · 0.3 · 0.7 ≈ 1, 65, och att
C(Yx, Y2) = −13 · 0.3 · 0.2 = −0.78.
3.10.2 Tvådimensionell normalfördelning
Vi definierar nu den tvådimensionella normalfördelningen som ofta kallas
bivariat normalfördelning.
DEFINITION 3.36 (BIVARIAT NORMALFÖRDELNING)
Den kontinuerliga två-dimensionella slumpvariabeln (X, Y ) sägs vara bivariat
normalfördelad med parametrar µx, µy, σx, σy och ρ (σx > 0, σy > 0
och −1 < ρ < 1) när dess simultana täthetsfunktion fX,Y (x, y) för alla x
och y ges av
1
fX,Y (x, y) =
2πσxσy 1 − ρ2 exp
1
2(1 − ρ2 x − µx
Qρ( ,
) σx
y − µy
σy
),