STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

132 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
BEVIS
2007-10-08 – sida 132 – # 136
Vi har ovan bevisat uttrycken för väntevärde och varians genom att konstatera
att Xi ∼ Bin(n, pi). Återstår att visa kovariansen för vilket vi måste
beräkna E(XiXj). Vi gör endast detta för specialfallet att r = 3, det allmänna
fallet är mycket likt men mer notationstungt eftersom vi måste hålla
reda på alla komponenter. Vi beräknar E(X1X2) och skall då summera
över alla värden på k1, k2 och k3 sådana att de är icke-negativa och så att
k1 + k2 + k3 = n. Man kan inse att detta blir exakt de termer som anges
nedan:
E(X1X2) =
n
n−k1
k1=0 k2=0
= n(n − 1)p1p2
× p k1−1
1
n
k1k2
n−k1
k1=1 k2=1
p k2−1
2 p n−k1−k2
3
n!
k1!k2!(n − k1 − k2)! pk1
(n − 2)!
1 pk2
2 pn−k1−k2
3
(k1 − 1)!(k2 − 1)!(n − k1 − k2)!
.
Att nedre summationsgränserna kan ändras till 1 i stället för 0 beror på
faktorn k1k2. Det som står innanför summationen är nu multinomialsannolikheterna
för en multinomialfördelning med parametrar n − 2 och
samma p1, p2 och p3. Detta ser man om man byter index till j1 = k1 − 1
och j2 = k2 − 1. Multinomialsannolikheterna summarar sig till 1 varför vi
får E(X1X2) = n(n − 1)p1p2 så kovariansen blir
C(X1, X2) = n(n − 1)p1p2 − np1np2 = −np1p2.
För multinomialfördelning kan man även räkna ut betingade fördelningar.
Vi vet att Xi ∼ Bin(n, pi), men vilken fördelning har Xi betingat på att Xj =
k (0 ≤ k ≤ n) för någon annan komponent j = i? Detta kan man härleda
rent logiskt, samt även genom formelmanipulation. Vi börjar med det förra
eftersom det bidrar mer till förståelsen. Frågan är alltså vilken fördelning Xi
har om vi vet att Xj = k. Dvs, bland de n försöken vet vi att k resulterade i
utfall j och därmed vet vi även resterande n − k inte resulterade i utfall j. De
kvarvarande försöken har nu fått en förhöjd sannolikhet att resultera i utfall
i (liksom för alla övriga ”icke-j” utfall. Chansen att ett försök blir utfall i
betingat av att det inte blev utfall j är P (utfall i| ej utfall j) = pi/(1 − pj). De
kvarvarande försöken sker fortfarande oberoende. Därför är fördelningen för
Xi betingat av att Xj = k binomialfördelad med parametrar n−k och pi/(1−
pj). Man brukar skriva detta som att Xi | Xj = k ∼ Bin(n − k, pi/(1 − pj).